(Trang 32)
| Thuật ngữ • Tam giác Pascal • Hệ số • Nhị thức Newton | Kiến thức, kĩ năng • Xác định các hệ số trong khai triển nhị thức Newton thông qua tam giác Pascal. • Khai triển nhị thức Newton (a+ b)n bằng cách sử dụng tam giác Pascal hoặc sử dụng công thức tổ hợp. • Xác định hệ số của x trong khai triền (ax+ b)n thành đa thức. |
Quan sát các khai triển nhị thức Newton sau:
(a+b)0 =1
(a+b)1=1a +1b
(a+b)2 =1a² +2ab + 1b²
(a+b)3 =1a³ +3a²b+3ab² +1b3
(a+b)4 =1a4 +4a³b + 6a²b² + 4ab³ +1b4
(a+b)5 =1a5 + 5a4b +10a3b² +10a²b³ +5ab4 +1b5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Các hệ số trong khai triền của (a + b)n tạo thành tam giác như ở hình trên. Có thể xác định được một hàng bất kì của tam giác này và do đó tính được các hệ số hay không?
1. TAM GIÁC PASCAL
>HĐ1. Khai triển (a + b)n, n ∈ {1; 2; 3; 4; 5}
Trong Bài 25 SGK Toán 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:
(a+b)1=a +b
(a+b)2 =a² +2ab + b²
(a+b)3 =a³ +3a²b+3ab² +b3
(a+b)4 =a4 +4a³b + 6a²b² + 4ab³ +b4
(a+b)5 =a5 + 5a4b +10a3b² +10a²b³ +5ab4 +b5
Với n ∈ {1; 2; 3; 4; 5}, trong khai triển của mỗi nhị thức (a + b)n:
a) Có bao nhiêu số hạng?
b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?
c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyền từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải?
(Trang 33)
| Trong khai triển của (a + b)n (với n = 1, 2, 3, 4, 5):
|
Từ những quan sát này ta có thể dự đoán, chẳng hạn:
(a+b)6 = a6 +?a5b+?a4b2 +?a3b3 +? a2b4 + ?ab5 +b6.
Ở đây dấu “?" để chỉ các hệ số chưa biết. Để hoàn thành khai triển, ta cần xác định các hệ số này.
>HĐ2. Tam giác Pascal
Viết các hệ số của khai triền (a + b)n với một số giá trị đầu tiên của n, trong bằng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal
(a+b)0
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
→1+1= 2
→1+2=3
→1+3=4,3+3=6
Hàng đầu quy ước gọi là hàng 0. Hàng n ứng với các hệ số trong khai triền nhị thức (a + b)n.
| Trong tam giác Pascal: Mọi số (khác 1) đều là tổng của hai số ở ngay phía trên nó. |
Từ tính chất này ta có thể tìm bất kì hàng nào của tam giác Pascal từ hàng ở ngay phía trên nó. Chằng hạn ta có thể tìm hàng 6 từ hàng 5 như sau:
(a+b)5
(a+b)6
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
→1+5= 6,5+ 10= 15, 10+ 10 = 20
? Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.
>Ví dụ 1. Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a+b)6.
Giải
Khai triển của (a+b)6 có dạng
(a+b)6 = a6 + ?a5b +?a4b2 + ?a3b3 + ?a2b4 + ?ab5 + b6
Các hệ số trong khai triễn này là các hệ số ở hàng 6 của tam giác Pascal. Do đó ta có ngay
(a+b)6 = a6 + 6a5b +15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6
(Trang 34)
>Ví dụ 2. Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (3 - 2x)5.
Giải
Ta viết khai triển của (a+b)5 rồi sau đó thay a = 3, b = -2x vào khai triển nhận được.
Dựa vào hàng 5 của tam giác Pascal, ta có
(a+b)5 =a5 + 5a4b +10a3b² +10a²b³ +5ab4 +b5
Với a = 3, b = -2x, ta được
(3 - 2x)5 = 35 + 5·34(-2x) + 10·33(-2x)2 + 10·32(-2x)3 +5·3(-2x)4 + (-2x)5
=243 - 810x + 1080x2 - 720x3 + 240x4 - 32x5.
>Luyện tập 1.
a) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a+ b)7.
b) Sử dụng tam giác Pascal viết khai triền của (2х - 1)4.
Dưới đây ta sẽ xây dựng công thức cho phép xác định trực tiếp hệ số bất kì trong khai triển (a + b)n.
>HĐ3. Tính chất của các số 
a) Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu:
Nhận xét rằng các hệ số khai triền của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn, 
và 
, 
và 
. Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa và 
(0 ≤k≤n).
b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:
(a+b)0
(a+b)1
(a+b)2
(a+b)3
(a+b)4
(a+b)5
Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánh + và 
, 
+ và 
,... Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa 
.
(Trang 35)
| Tính chất của các số • • |
(0 ≤k ≤ n) (Tính chất đối xứng).
+ 
= ? Hãy chứng minh các công thức trên bằng cách sử dụng công thức tính số các tổ hợp.
2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON
>HĐ4. Quan sát khai triền nhị thức của (a + b)n n ∈ {1; 2; 3; 4; 5} ở HĐ3, hãy dự đoán công thức khai triền trong trường hợp tổng quát.
 |
Chứng minh
Ta chứng minh (1) bằng quy nạp theo n.
• Khi n = 1, ta có
Vậy công thức (1) đúng khi n = 1.
• Giả sử (1) là đúng với n = m, tức là ta có
Ta sẽ chứng minh rằng (1) cũng đúng khi n = m + 1, tức là
Thật vậy, ta có
Vì 
, nên ta có (2).
Vậy công thức nhị thức Newton là đúng với mọi số nguyên dương n.
Chú ý. Số hạng thứ (k + 1) trong khai triền của(a + b)n thành dạng (1) là 
>Ví dụ 3. Viết khai triển nhị thức Newton (a+ b)6.
Giải
Ta có
Như vậy, ta tìm lại được kết quả của Ví dụ 1, nhưng bằng phương pháp khác.
(Trang 36)
Chú ý. Vì 
(0≤ k ≤ 6) nên ta chỉ cần tính 
, 
, 
, 
và dùng tính chất này để suy ra 
>Ví dụ 4. Khai triển biểu thức (3x – 2)4.
Giải
Theo công thức nhị thức Newton, ta có
>Luyện tập 2. Khai triển (x-2y)6.
Số hạng chứa xk trong khai triền của (ax + b)n là  hay  . Do đó, hệ số của xk trong khai triển của (ax + b)n là  . |
>Ví dụ 5. Tìm hệ số của x⁴ trong khai triền của (x + 2)10.
Giải. Số hạng chứa xk trong khai triền của (x + 2)10 là 
.
Số hạng chứa x⁴ ứng với k = 4, tức là số hạng 
hay 13 440x⁴.
Vậy hệ số của x⁴ trong khai triền của (x + 2)10 là 13 440.
>Luyện tập 3. Tìm hệ số của x7 trong khai triển thành đa thức của (2 - 3x)10.
>Ví dụ 6. Tìm số nguyên dương n thoả mãn
Giải. Nhận thấy về trái của đằng thức trên có chứa các luỹ thừa của 3 nên áp dụng khai triển nhị thức Newton cho (x + 3)n ta được
Cho x = 1 ta được
Vậy số nguyên dương cần tìm là n = 3.
>Vận dụng (Số các tập con của tập hợp có n phần từ)
a) Viết khai triền nhị thức Newton của (1 + x)n.
b) Cho x = 1 trong khai triền ở câu a), viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đằng thức này với lưu ý rằng 
(0≤k ≤n) chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hợp có n phần tử.
c) Tương tự, cho x = -1 trong khai triển ở câu a), viết đằng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đằng thức này.
(Trang 37)
BÀI TẬP
2.9. Sử dụng tam giác Pascal, viết khai triển:
a) (x- 1)5; b) (2x-3y)4.
2.10. Viết khai triển theo nhị thức Newton:
a) (x+y)6; b) (1-2x)5.
2.11. Tìm hệ số của x8 trong khai triền của (2x + 3)10.
2.12. Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 - 3x)n là 90. Tìm n.
2.13. Từ khai triền biểu thức (3x – 5)4 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.
2.14. Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của biều thức
x(1-2x)5 + x2 (1+3x)10.
2.15. Tính tổng sau đây:
2.16. Tìm số tự nhiên n thoả mãn
2.17. Tim số nguyên dương n sao cho
2.18. Biết rằng (2+x)100 = a0 +a1x+a₂x² +..+ a100x100. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì ak lớn nhất?
Em có biết?
|
Blaise Pascal (1623-1662) |
|
Isaac Newton (1643-1727) |
