Câu hỏi và bài tập
Bài 40 trang 43 SGK
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
y = x3 + 3x2 – 4
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn.
c) Chứng minh rằng điểm uốn làm tâm đối xứng của đồ thị.
Lời giải:
a) TXĐ: R
y'> 0 trên khoảng (-∞; -2) và (0; +∞)
y'< 0 trên khoảng (-2; 0)
+ yCĐ = y(-2) = 0; yCT = y(0) = -4
+ limx→–∞ y = -∞; limx→+∞ y = +∞
+ y'' = 6x + 6 = 6(x + 1) = 0 ⇔ x = -1
Bảng xét dấu y’’
| X | –∞ | -1 | +∞ | ||
| Y’’ | – | 0 | + | ||
| Đồ thị | lồi | điểm uốn U(-1; -2) | lõm |
Hàm số lồi trên khoảng (–∞; -1)
Hàm số lõm trên khoảng (-1; +∞)
Hàm số có 1 điểm uốn U(-1; -2)
Bảng biến thiên:
Đồ thị
Đi qua điểm (1; 0) và (-3; -4)
b) Hàm số y = x3 + 3x2 – 4 có điểm uốn U(-1; -2)
Ta có: y' = 3x2 + 6x; y’(-1) = -3
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn U(-1; -2) có dạng
y – y0 = y'(x0)(x – x0)
⇔ y + 2 = -3(x + 1)
⇔ y = -3x – 5
Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là: y = -3x – 5.
c)
Cách 1. Đồ thị nhận U(-1; -2) là tâm đối xứng khi và chỉ khi:
f(x0 + x) + f(x0 – x) = 2y0 với ∀x
⇔ f(x – 1) + f(-x – 1) = -4 ∀x
⇔ (x – 1)3 + 3(x – 1)2 – 4 +(-1 – x)3 + 3(-1 – x)2 – 4 = -4 ∀x
⇔ x3 – 3x2 + 3x – 1 + 3x2 – 6x + 3 – 4 – 1 – 3x – 3x2 – x3 + 3 + 6x + 3x2 – 4 = -4 ∀x
⇔ -4 = - 4 ∀x
⇒ I(-1; -2) là tâm đối xứng của đồ thị.
Cách 2. Gọi U(-1; -2) là tọa độ điểm uốn, tịnh tiến OU giữa các tọa độ cũ.
Theo công thức đổi trục tọa độ
Phương trình trở thành Y = X3 – 3X đây là hàm số lẻ nên đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng ⇒ điều phải chứng minh.
Bài 41 trang 44 SGK
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
y = -x3 + 3x2 – 1
b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình
-x3 + 3x2 – 1 = m
Lời giải:
a) y = -x3 + 3x2 – 1
Tập xác định D = R
y' = -3x2 + 6x
- Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2)
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) và (2; +∞)
yCĐ = y(2) = 3; yCT = y(0) = -1
y''= -6x + 6; y''= 0 ⇒ x = 1
- Hàm số lồi trên khoảng (-∞; 1) lõm trên khoảng (1; +∞)
- Hàm số có một điểm uốn I(1; 1)
Bảng biến thiên:
Đồ thị đi qua (0; -1)
b) -x3 + 3x2 – 1 = m (*)
Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị y = -x3 + 3x2 – 1 với đường thẳng y = m.
Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:
- Nếu m > 3: Phương trình (*) có 1 nghiệm
- Nếu m = 3: Phương trình (*) có 2 nghiệm.
- Nếu -1 < m < 3 : Phương trình (*) có 3 nghiệm
- Nếu m = -1: Phương trình (*) có 2 nghiệm.
- Nếu m < -1 phương trình (*) có 1 nghiệm.
Kết luận:
Bài 42 trang 44 SGK
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
Lời giải:
a) TXĐ: R
y'> 0 trên khoảng (-∞; -1) và (3; +∞)
y'< 0 trên khoảng (-1; 3)
yCT = y(3) = -32/3; yCĐ = y(-1) = 0
y''= 2x – 2 = 2(x – 1) = 0 ⇔ x = 1
Bảng xét dấu y’’
Hàm số lồi trên khoảng (-∞; 1).
Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)
Hàm số có 1 điểm uốn u(1; -16/3)
Bảng biến thiên
- Đồ thị
Đi qua (0; -5/3); (5; 0)
b) TXĐ: R
y'= 3x2 – 3 = 0 ⇔ x =±1
y'> 0 trên khoảng (–∞; -1)và (1; +∞)
y'< 0 trên khoảng (-1; 1)
yCĐ = y(-1) = 3; yCT = y(1) = -1
Bảng xét dấu y’’
| X | –∞ | 0 | +∞ | ||
| Y’’ | – | 0 | + | ||
| Đồ thị | lồi | điểm uốn u(0; 1) | lõm |
Hàm số có 1 điểm uốn U(0; 1)
• Bảng biến thiên
• Đồ thị
Đi qua (0; 1)
c) 
+ TXĐ D = R.
y'= -x2 + 2x – 2 = -[(x – 1)2 + 1] < 0 ∀x ∈ D
- Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (-∞; +∞)
- Hàm số không có cực trị
- Đồ thị không có tiệm cận.
y'' = -2x + 2; y''= 0 ⇒ x = 1
- Hàm số lồi trên (1; +∞)lõm trên (–∞; 1) nhận I(1; -2) làm điểm uốn.
Bảng biến thiên
d) y = x3 – 3x2 + 3x + 1
TXĐ D = R
y'= 3x2 – 6x + 3 = 3(x – 1)2 > 0 ∀x ∈ D
- Hàm số luôn đồng biến (–∞; +∞)
- Hàm số không có cực trị
limx→–∞ y = +∞; limx→+∞ y = –∞
- Đồ thị không có tiệm cận
y'' = 6x – 6; y'' = 0 ⇒ x = 1
- Đồ thị lồi trên (-∞; 1)
- Đồ thị lõm trên (1; +∞)
Đồ thị nhận I(1; 2) làm tâm đối xứng.
Bảng biến thiên
Bài 43 trang 44 SGK
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau
y = -x4 + 2x2 – 2
b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình
-x4 + 2x2 – 2 = m
c) Viết Phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị.
Lời giải:
a) Hàm số y = -x4 + 2x2 – 2 (TXĐ: R)
* y'= -4x3 + 4x = 4x(-x2 + 1) = 0
y'>0 trên khoảng (–∞; -1)và (0; 1)
y'<0 trên khoảng (-1; 0) và (1; +∞)
yCT = y(0)=-2; yCĐ = y(-1) = y(1) = -1
limx→–∞y = -∞; limx→+∞y = –∞
- y'' = -12x2 + 4 = 4(-3x2 + 1) = 0
Bảng xét dấu y’’
Bảng biến thiên
• Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; -2)
b) Số nghiệm của Phương trình -x4 + 2x2 – 2 = m (1) là giao điểm của đồ thị y = -x4 + 2x2 – 2 với đường thẳng y = m.
Nếu m > -1 thì Phương trình (1) vô nghiệm.
Nếu m = 1 thì Phương trình (1) có 2 nghiệm.
Nếu -2 < m < -1: Phương trình có 4 nghiệm.
Nếu m = -2 phương trình (1) có 3 nghiệm
Nếu m < -2: Phương trình (1) có 2 nghiệm
Kết luận:
• m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.
• 
Phương trình (1) có 2 nghiệm.
• m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.
• -2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.
c) Hàm số y = -x4 + 2x2 – 2 có 2 điểm uốn đó là:
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn
Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiếp tuyến:
Bài 44 trang 44 SGK
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau:
a) y = x4 – 3x2 + 2 b) y = -x4 – 2x2 + 1
Lời giải:
a) y = x4 – 3x2 + 2
TXĐ: R
•Bảng xét dấu y’’
• Bảng biến thiên
• Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
Giao với Oy (0; 2)
Giao với Ox (-1; 0); (1; 0)
(-√2; 0); (√2; 0)
b) y = -x4 – 2x2 + 1
TXĐ: R
y' = -4x3 – 4x = 4x(x2 + 1) = 0 ⇔ x = 0
y'> 0 trên khoảng (–∞; 0), y'< 0 trên khoảng (0; +∞)
yCĐ = y(0) = 1
limx→–∞y = –∞; limx→+∞y = -∞
y'' = -12x2 – 4 < 0 ∀x ∈ R
Bảng xét dấu y’’
| X | -∞ | – | +∞ |
| Y’’ | Lồi | ||
| Đồ thị |
Hàm số lồi trên khoảng (-∞; +∞)
Bảng biến thiên
Đồ thị
Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; 1)
Luyện tập
Bài 45 trang 44 SGK
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y = x3 – 3x2 + 1
b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của Phương trình x3 – 3x2 + m + 2 = 0
Lời giải:
a) y = x3 – 3x2 + 1
TXĐ: R
y' = 3x2 – 6x = 3x(x – 2) = 0
y'> 0 trên khoảng (-∞; 0) ∪ (2; +∞)
y' < 0 trên khoảng (0; 2)
yCT = y(2) = -3; yCĐ = y(0) = 1
y'' = 6x – 6 = 6(x – 1) = 0 ⇔ x = 1
Bảng xét dấu y’’
Hàm số lồi trên khoảng (–∞; 1)
Hàm số lõm trên khoảng (1; +∞)
Hàm số có 1 điểm uốn u(1; -1)
Bảng biến thiên.
• Đồ thị
Giao với Oy (0; 1)
b) x3 – 3x2 + m + 2 = 0
⇔ x3 – 3x2 + 1 = -1 – m (2)
Số nghiệm của Phương trình (2) là số giao điểm của đồ thị y = x3 – 3x2 + 1 với đường thẳng y = -1 – m.
Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:
- Nếu -1 – m > 1 ⇔ m < -2 phương trình (2) có 1 nghiệm.
- Nếu -1 – m = 1 ⇔ m = -2: Phương trình (2) có 2 nghiệm.
- Nếu -3 < -1 – m < 1 ⇔ -2 < m < 2: Phương trình (2) có 3 nghiệm.
- Nếu -1 – m < -3 ⇔ m > 2: Phương trình (2) có 1 nghiệm.
Kết luận:
-2 < m < 2: Phương trình (2) có 3 nghiệm.
Bài 46 trang 44 SGK
Cho hàm số
y = (x + 1)(x2 + 2mx + m + 2)
a) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = -1
Lời giải:
a) Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (Cm) với trục hoành là nghiệm của phương trình:
Đặt f(x) = x2 + 2mx + m + 2
Để đồ thị hàm số (Cm ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì phương trình f(x) = 0 phải có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 khác -1.
Vậy với m thỏa mãn (*) thì đồ thị hàm số Cm cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
b) Với m = -1. Ta có: y = (x + 1)(x2 – 2x + 1) = x3 – x2 – x + 1
TXĐ: R
Bảng xét dấu y’’
Hàm số lồi trên khoảng (–∞; 1/3)
Hàm số lõm trên khoảng (1/3; +∞)
Hàm số có 1 điểm uốn (1/3; 16/27)
Bảng biến thiên
• Đồ thị
Giao với Ox(-1; 0); (1; 0) giao với Oy (0; 1) đi qua (2; 3)
Bài 47 trang 45 SGK
Cho hàm số
y = x4 – (m + 1)x2 + m
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.
b) CMR đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua hai điểm cố định với mọi giá trị của m.
Lời giải:
a) Với m = 2 ta có: y = x4 – 3x2 +2
TXĐ: R
y'= 4x3 – 6x = 0 ⇔ 4x(2x3 – 3) = 0
Bảng xét dấu y’’
Bảng biến thiên
Đồ thị đi qua (1; 0); (-1; 0) (-√2; 0),(√2; 0),(0; 2)
b) Giả sử điểm M(x0; y0) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn di qua với mọi m.
Ta có:
Vậy hàm số đã cho luôn đi qua 2 điểm cố định: M1 (-1; 0); M2 (1; 0)
Bài 48 trang 45 SGK
Cho hàm số
y = x4 – 2mx2 + 2m
a) Tìm các giá trị của m sao cho hàm số có 3 cực trị.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1/2. Viết Phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại 2 điểm uốn.
Lời giải:
a) Ta có y'= 4x3 – 4mx = 4x(x2 – m)
Để hàm số đã cho có 3 cực trị thì Phương trình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt.
Vậy với m > 0 thì hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.
b) Với m = 1/2, ta có y = x4 – x2 + 1
TXĐ: R
Bảng xét dấu y’’
Bảng biến thiên
Đồ thị đi qua (0; 1)
* y= x4 – x2 + 1
Hàm số có 2 điểm uốn là
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn
Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn
Vậy 2 phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn là:
