Trang 20
| THUẬT NGỮ • Phương trình mũ • Phương trình lôgarit • Bất phương trình mũ • Bất phương trình lôgarit | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit ở dạng đơn giản. • Giải quyết một số vấn đề liên môn hoặc có liên quan đến thực tiễn gắn với phương trình, bắt phương trình mũ và lôgarit. |
Giả sử giá trị còn lại (tính theo triệu đồng) của một chiếc xe ô tô sau t năm sử dụng được mô hình hoá bằng công thức:
V(t) = 780 - (0,905)
.
Hỏi nếu theo mô hình này, sau bao nhiêu năm sử dụng thì giá trị của chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
1. PHƯƠNG TRÌNH MŨ
HĐ1. Nhận biết nghiệm của phương trình mũ
Xét phương trình: 
a) Khi viết 
thành luỹ thừa của 2 thì phương trình trên trở thành phương trình nào?
b) So sánh số mũ của 2 ở hai vế của phương trình nhận được ở câu a để tìm x.
Phương trình mũ cơ bản có dạng  = b (với 0 < a ≠ 1).- Nếu b > 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =  b- Nếu b ≤ 0 thì phương trình vô nghiệm. |
Minh hoạ bằng đồ thị:
Hình 6.5
Chú ý. Phương pháp giải phương trình mũ bằng cách đưa về cùng cơ số:
Nếu 0 < a ≠ 1 thì 
= 
⇔ u = v.
Trang 21
Ví dụ 1. Giải phương trình: 
.
Giải
Đưa vees phải về cơ số 3, ta có 
.
Từ đó phương trình trở thành 
⇔ x + 1 = 2x - 1 ⇔ x = 2 .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
Ví dụ 2. Giải phương trình: 
= 2 022.
Giải
Lấy lôgarit thập phân hai vế của phương trình ta được x −1=log 2 022 hay x = 1 + log 2 022.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1 + log 2 022.
Luyện tập 1. Giải các phương trình sau:
a) 
;
b) 
.
2. PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
HĐ2. Nhận biết nghiệm của phương trình lôgarit
Xét phương trình: 
.
a) Từ phương trình trên, hãy tính 
.
b) Từ kết quả ở câu a và sử dụng định nghĩa lôgarit, hãy tìm x.
Phương trình lôgarit cơ bản có dạng  (0 < a ≠ 1)Phương trình lôgarit cơ bản có nghiệm duy nhất x =  . |
Minh hoạ bằng đồ thị:
Hình 6.6
Chú ý. Phương pháp giải phương trình lôgarit bằng cách đưa về cùng cơ số:
Nếu u, v > 0 và 0 < a ≠ 1 thì 
⇔ u = v.
Trang 22
Ví dụ 3. Giải phương trình: 4 + 3log(2x) = 16.
Giải
Điều kiện: 2x > 0 hay x > 0.
Phương trình trở thành log(2x) = 4. Từ đó 2x = 
hay x = 5 000 (thoả mãn điều kiện).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 5 000.
Ví dụ 4. Giải phương trình: 
.
Giải
Điều kiện: x + 1 > 0 và 
− 1 > 0, tức là x > 1.
Phương trình trở thành x + 1 = – 1 hay − x − 2 = 0.
Từ đó tìm được x = −1 và x = 2, nhưng chỉ có nghiệm x = 2 thoả mãn điều kiện.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.
Luyện tập 2. Giải các phương trình sau:
a) 4 - log(3 - x) = 3;
b) 
.
3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
HĐ3. Nhận biết nghiệm của bất phương trình mũ
Cho đồ thị của các hàm số y = 
và y = 4 như Hình 6.7. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y = nằm phía trên đường thẳng y = 4 và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình > 4.
Hình 6.7
• Bất phương trình mũ cơ bản có dạng  > b (hoặc ≥ b, < b, ≤ b) với a > 0, a = 1.• Xét bất phương trình dạng > b- Nếu b ≤ 0 thì tập nghiệm của bất phương trình là R. - Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với >  .Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x >  .Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < . |
Chú ý
a) Các bắt phương trình mũ cơ bản còn lại được giải tương tự.
b) Nếu a > 1 thì 
> 
⇔ u > v.
Nếu 0 < a < 1 thì > ⇔ u < v.
Trang 23
Ví dụ 5. Giải bất phương trình: 
.
Giải
Ta có: ⇔ 
⇔ 4x > -3 ⇔ 
.
Ví dụ 6. Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Giải
Ta cần tìm t sao cho
V(t) < 300 ⇔ 780 · (0,905)
≤ 300 ⇔ (0,905) ≤ 
⇔ t > 
≈ 9,6
Vậy sau khoảng 10 năm sử dụng, giá trị của chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng.
Luyện tập 3. Giải các bất phương trình sau:
a) 
≤ 
;
b) 3 · 
≤ 1.
4. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
HĐ4. Nhận biết nghiệm của bất phương trình lôgarit
Cho đồ thị của các hàm số 
và y = 2 như Hình 6.8. Tìm khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng y = 2 và từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình log, 
.
Hình 6.8
Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng  ( hoặc  ,  ,  ) với a > 0, a ≠ 1.• Xét bất phương trình dạng log, : – Nếu a > 1 thì nghiệm của bất phương trình là x >  .– Nếu 0 < a < 1 thì nghiệm của bất phương trình là 0 < x < . |
Chú ý
a) Các bất phương trình lôgarit cơ bản còn lại được giải tương tự.
b) Nếu a > 1 thì 
> 
⇔ u > v > 0.
Nếu 0 < a < 1 thì > ⇔ 0 < u < v.
Ví dụ 7. Giải bất phương trình: 
≤ 
.
Giải
Điều kiện: x > 
.
Vì cơ số 0,3 < 1 nên bắt phương trình trở thành x + 1 ≥ 2x − 1, từ đó tìm được x ≤ 2.
Kết hợp với điều kiện, ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là < x ≤ 2.
Trang 24
Luyện tập 4. Giải các bất phương trình sau:
a) 
> 
.
b) 2log(2x + 1) > 3.
Vận dụng. Áp suất khi quyển p (tinh bằng kilopascal, viết tắt là kPa) ở độ cao h (so với mực nước biển, tính bằng km) được tính theo công thức sau:
.
(Theo britannica.com)
a) Tính áp suất khí quyển ở độ cao 4 km.
b) Ở độ cao trên 10 km thì áp suất khí quyển sẽ như thế nào?
BÀI TẬP
6.20. Giải các phương trình sau:
a) 
;
b) 
;
c) 
;
d) 
.
6.21. Giải các phương trình sau:
a) log(x + 1) = 2;
b) 
;
c) In x + In(x - 1) = In 4x;
d) 
.
6.22. Giải các bất phương trinh sau:
a) 
> 
;
b) 
≤ 3;
c) 
≥ -1
d) 
≥ 
6.23. Bác Minh gửi tiết kiêm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 7,5% một năm theo thể thức lãi kép kì hạn 12 tháng. Tổng số tiền bác Minh thu được (cả vốn lẫn lãi) sau n năm là:
(triệu đồng).
Tính thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi).
6.24. Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con. Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy đỏ, đem số lượng vi khuẩn và thấy rằng tỉ lệ tăng trưởng vi khuẩn là 40% mỗi giờ. Khi đó số lượng vi khuẩn N(t) sau t giờ nuôi cấy được ước tính bằng công thức sau:
N(t) = 500
Hỏi sau bao nhiêu giờ nuôi cấy, số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con?
6.25. Giả sử nhiệt độ T (°C) của một vật giảm dần theo thời gian cho bởi công thức: T = 25 + 70
, trong đó thời gian t được tính bằng phút.
a) Tìm nhiệt độ ban đầu của vật.
b) Sau bao lâu nhiệt độ của vật còn lại 30 °C?
6.26. Tính nồng độ ion hydrogen (tính bằng mollit) của một dung dịch có độ pH là 8.
