Trang 22
Các bất phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn xuất hiện trong nhiều bài toán kinh tế, như là những ràng buộc trong các bài toán sản xuất, bài toán phân phối hàng hoá,... Chương này cung cấp cách biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ.
ax + by = c
| THUẬT NGỮ • Bất phương trình bậc nhất hai ẩn • Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn | KIẾN THỨC, KỸ NĂNG • Nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn. • Biết biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng toạ độ. • Vận dụng kiến thức về bất phương trình bậc nhất hai ẩn vào giải quyết bài toán thực tiễn. |
Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 1-6, một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả một bộ phim hoạt hình. Vé được bán ra có hai loại:
Loại 1 (dành cho trẻ từ 6-13 tuổi): 50 000 đồng/vé;
Loại 2 (dành cho người trên 13 tuổi): 100 000 đồng/vé.
Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng.
Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?
1. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
HĐ1. Trong tình huống mở đầu, gọi x là số vé loại 1 bán được và y là số vé loại 2 bán được. Viết biểu thức tính số tiền bán vé thu được (đơn vị nghìn đồng) ở rạp chiếu phim đó theo x và y.
a) Các số nguyên không âm x và y phải thoả mãn điều kiện gì để số tiền bán vé thu được đạt tối thiểu 20 triệu đồng?
b) Nếu số tiền bán vé thu được nhỏ hơn 20 triệu đồng thì x và y thoả mãn điều kiện gì?
Trang 23
Mỗi hệ thức liên hệ giữa x và y thu được trong HĐ1a và HĐ1b được gọi là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
| Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là: ax + by ≤ c (ax + by ≥ c, ax + by < c, ax + by > c) |
trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
Ví dụ 1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
2x + 3y < 1; 2
+ 3y < 1.
Giải
Bất phương trình 2x + 3y < 1 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Bất phương trình 2 + 3y < 1 không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa .
HĐ2. Cặp số (x; y) = (100; 100) thoả mãn bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào trong hai bất phương trình thu được ở HĐ1? Từ đó cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay không nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2.
Trả lời câu hỏi tương tự với cặp số (x; y) = (150; 150).
Cặp số (  ;  ) được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤ c nếu bất đẳng thức a + b ≤ c đúng. |
Ví dụ 2. Cho bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + 2y > 5. Cặp số nào sau đây là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên?
a) (x; y) = (3; 4); b) (x; y) = (0; -1).
Giải
a) Vì 3 + 2 · 4 = 11 > 5 nên cặp số (3; 4) là một nghiệm của bất phương trình đã cho.
Luyện tập 1. Cho bất phương trình bậc nhất hai ăn xin no G
a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.
b) Với y = 0, có bao nhiêu giá trị của x thoả mãn bất phương trình đã cho?
Nhận xét. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
2. BIỂU DIỄN MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN TRÊN MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ
HĐ3. Cho đường thẳng d: 2x − y = 4 trên mặt phẳng toạ độ Oxy (H.2.1). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.
Hình 2.1
a) Các điểm O(0; 0), A(−1; 3) và B(–2; –2) có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d không?
Tính giá trị của biểu thức 2x - y tại các điểm đó và so sánh với 4.
b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm C(3; 1), D(4; -1).
Trang 24
| • Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó. • Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình ax + by = c chia mặt phẳng toạ độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng bờ d: - Nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ d) gồm các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn ax + by < c. Bờ d gồm các điểm có toạ độ (x; y) thoả mãn ax + by = c. |
Ví dụ 3. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình x + y ≥100 trên mặt phẳng toạ độ.
Giải (H.2.2)
Hình 2.2
Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn x + y ≥100 như sau:
Bước 1. Vẽ đường thẳng d: x + y = 100 trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Bước 2. Lấy một điểm bất kì không thuộc d trên mặt phẳng rồi thay vào biểu thức x + y. Chẳng hạn, lấy O(0;0), ta có: 0 + 0 < 100.
Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ d không chứa gốc toạ độ (miền không bị gạch).
| Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by ≤c. |
không thuộc d
, và so sánh với c.
• Nếu c # 0, ta thường chọn 
chính là gốc toạ độ.
• Nếu c = 0, ta thường chọn có toạ độ (1; 0) hoặc (0; 1).
Ví dụ 4. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 5x −7y <0 trên mặt phẳng toạ độ.
Giải (H.2.3)
d: 5x - 7y = 0
Hình 2.3
Bước 1. Vẽ đường thẳng d: 5x −7y = 0 trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Bước 2. Lấy điểm M (0; 1) không thuộc d và thay x = 0, y = 1 vào biểu thức 5x −7y ta được: 5 · 0 - 7 · 1= -7 < 0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm M (miền không bị gạch).
Chú ý. Miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c là miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c bỏ đi đường thẳng ax + by = c và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.
Luyện tập 2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x + y < 200 trên mặt phẳng toạ độ.
Trang 25
Ví dụ 5. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải
Gọi x là số lượng vé loại 1 bán được (x ∈ N) và y là số lượng vé loại 2 bán được (y ∈ N) thì số tiền bán vé thu được là 50x + 100y (nghìn đồng). Người ta sẽ phải bù lỗ trong trường hợp số tiền bán vé nhỏ hơn 20 triệu đồng, tức là: 50x + 100y < 20 000 hay x + 2y < 400.
Như vậy, việc giải quyết bài toán mở đầu dẫn đến việc đi tìm miền nghiệm của bất phương trình x + 2y < 400.
Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn này được xác định như sau:
• Vẽ đường thẳng d: x + 2y = 400.
• Ta lấy gốc toạ độ O(0; 0) và tính 0 + 2 · 0 = 0 < 400.
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc toạ độ không kể đường thẳng d (H.2.4).
x + 2y = 400
Hình 2.4
Miền tam giác gồm các điểm bên trong và các điểm trên ba cạnh của tam giác.
Vậy, nếu bán được số vé loại 1 là x và số vé loại 2 là y mà điểm (x; y) nằm trong miền tam giác OAB không kể cạnh AB thì rạp chiếu phim sẽ phải bù lỗ.
Nếu điểm (x; y) nằm trên đoạn thẳng AB thì rạp chiếu phim hoà vốn.
Nhận xét
• Nếu bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2 thì rạp chiếu phim có lãi.
• Nếu bán được 200 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim hoà vốn.
• Nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim phải bù lỗ.
Vận dụng. Một công ty viễn thông tính phí 1 nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và 2 nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng?
BÀI TẬP
2.1. Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
a) 2x + 3y > 6; b) 
+ y ≤ 0; c) - y ≥ 1.
2.2. Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng toạ độ:
a) 3x + 2y ≥300; b) 7x + 20y < 0.
2.3. Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:
| Phí cố định (nghìn đồng/ngày) | Phí tính theo quãng đường di chuyển (nghìn đồng/kilômét) | |
| Từ thứ Hai đến thứ Sáu | 900 | 8 |
| Thứ Bảy và Chủ nhật | 1 500 | 10 |
a) Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.
b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ.
