Trang 119
| THUẬT NGỮ • Hàm số liên tục tại một điểm • Hàm số gián đoạn • Hàm số liên tục trên một khoảng • Hàm số liên tục trên một đoạn | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Nhận dạng hàm số liên tục tại một điểm, hoặc trên một khoảng, trên một đoạn. • Nhận dạng tính liên tục của tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục. Nhận biết tính liên tục của một số hàm sơ cấp cơ bản trên tập xác định của chúng. |
Một người lái xe từ địa điểm A đến địa điểm B trong thời gian 3 giờ. Biết quãng đường từ A đến B dài 180 km. Chứng tỏ rằng có ít nhất một thời điểm trên hành trình, xe chạy với vận tốc 60 km/h.
1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM
HĐ1. Nhận biết tính liên tục của hàm số tại một điểm
Cho hàm số 
Tính giới hạn 
và so sánh giá trị này với f (1).
Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm  . Hàm số f (x) được gọi là liên tục tại điểm nếu  . |
Hàm số f (x) không liên tục tại được gọi là gián đoạn tại điểm đó.
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số 
tại điểm = 2.
Giải
Rõ ràng hàm số f (x) xác định trên R \ {1}, do đó = 2 thuộc tập xác định của hàm số.
Ta có 
. Vậy hàm số f (x) liên tục tại = 2.
Trang 120
Ví dụ 2. Xét tính liên tục của hàm dấu
Giải
Ta thấy 
, 
. Do đó không tồn tại giới hạn 
.
Vậy hàm số này gián đoạn tại 0.
Luyện tập 1. Xét tính liên tục của hàm số 
tại điểm 
.
2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG
Hàm số f (x) liên tục tại 
khi và chỉ khi 
.
HĐ2. Cho hai hàm số 
và 
với đồ thị tương ứng như Hình 5.7
Hàm số y = f (x)
Hàm số y = g (x)
Hình 5.7
Xét tính liên tục của các hàm số f (x) và g (x) tại điểm 
và nhận xét về sự khác nhau giữa hai đồ thị.
| Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này. Hàm số y = g (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b]nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và  ,  . |
Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a; b]. [a; +∞).... được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể thấy đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.
Trang 121
Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số 
trên nửa khoảng (0; 1].
Giải
Ta có f (x) = x −1 với x = ∈ (0; 1). Với 
∈ (0; 1) bất kì, ta có 
.
Vậy hàm số f (x) liên tục trên khoảng (0; 1).
Hơn nữa, 
nên f (x) liên tục trên nửa khoảng (0; 1].
Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có:
| • Hàm số đa thức và các hàm số y = sin x, y = cos x liên tục trên R. • Các hàm số y = tan x, y = cot x, y =  và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng. |
Ví dụ 4. Cho hàm số 
. Tìm các khoảng trên đó hàm số f (x) liên tục.
Giải
Tập xác định của hàm số f (x) là (-∞; 1) ∪ (1; +∞). Vậy hàm số f (x) liên tục trên các khoảng (-3; 1) và (1;+∞).
Luyện tập 2. Tìm các khoảng trên đó hàm số 
.
3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN
HĐ3. Cho hai hàm số 
và g (x) = x + 1.
a) Xét tính liên tục của hai hàm số trên tại x = 1.
b) Tính 
và so sánh L với f (1) + g (1)
Ta có khẳng định sau đây về tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số liên tục.
Giả sử hai hàm số y =f (x) và y = g (x) liên tục tại điểm 
. Khi đó:
a) Các hàm số y =f (x) + g (x), y =f (x) - g (x) và y = f (x)g (x) liên tục tại ;
b) Hàm số 
liên tục tại nếu g () ≠ 0.
Ví dụ 5. Xét tính liên tục của hàm số 
.
Giải
Hàm số xác định trên các khoảng (-∞; 1) và (1; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Do đó, hàm số f (x) liên tục trên R \ {1}
Trang 122
Nhận xét. Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a)f (b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.
Kết quả này được minh hoạ bằng đồ thị như Hình 5.8
Hình 5.8
Ví dụ 6. Chứng minh rằng phương trình 
có ít nhất một nghiệm.
Giải
Xét hàm số 
. Ta có f (0) = −10 < 0, f (2) = 30 > 0 và vì f (x) là hàm đa thức nên nó liên tục trên [0; 2]. Khi đó, phương trình f (x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 2).
Vận dụng. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
BÀI TẬP
5.14. Cho f (x) và g (x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f (1) = 2 và 
. Tính g (1).
5.15. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) 
;
b) 
5.16. Tìm giá trị của tham số m để hàm số 
liên tục trên R.
5.17. Một bảng giá cước taxi được cho như sau:
| Giá mở cửa (0,5 km đầu) | Giá cước các km tiếp theo đến 30 km | Giá cước từ km thứ 31 |
| 10 000 đồng | 13 500 đồng | 11 000 đồng |
a) Viết công thức hàm số mô tả số tiền khách phải trả theo quãng đường di chuyển.
b) Xét tính liên tục của hàm số ở câu a.
