Trang 111
| THUẬT NGỮ • Giới hạn của hàm số • Giới hạn một phía • Giới hạn tại vô cực • Giới hạn vô cực | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Nhận biết khái niệm giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực. • Nhận biết khái niệm giới hạn một phía. Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực. • Tính một số dạng giới hạn của hàm số. • Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giới hạn của hàm số. |
Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của vật chuyển động với vận tốc v cho bởi công thức
trong đó 
là khối lượng của vật khi nó đứng yên, c là vận tốc ánh sáng. Chuyện gì xảy ra với khối lượng của vật khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng?
Albert Einstein (1879-1955)
1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
HĐ1. Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm
Cho hàm số 
.
a) Tìm tập xác định của hàm số f(x).
b) Cho dãy số 
. Rút gọn 
và tính giới hạn của dãy (
) với = .
c) Với dãy số (
) bất kì sao cho 
≠ 2 và → 2, tính và tìm 
.
Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm  và hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm . Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số L khi x dần tới nếu với dãy số () bất kì, ∈ (a; b), ≠ Và → , ta có → L, kí hiệu  hay f (x) → L khi x → . |
Ví dụ 1. Cho hàm số 
. Chứng tỏ rằng 
.
Trang 112
Giải
Lấy dãy số () bất kì sao cho ≥ 1 và → 1. Ta có 
.
Do đó 
. Vậy .
Tương tự đối với dãy số, ta có các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm như sau:
a) Nếu 
và 
thì
, nếu M ≠ 0.
b) Nếu f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ (a; b) \ {
} và thì L ≥ 0 và 
.
• 
với c là hằng số.
• 
với n ∈ N.
Ví dụ 2. Cho f (x) = x − 1 và g (x )= 
. Tính các giới hạn sau:
a) 
b) 
.
Giải
Ta có 
. Mặt khác, ta thấy 
.
a) Ta có
.
b) Ta có
.
Ví dụ 3. Tính 
.
Giải
Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x → 0 nên ta không thể áp dụng ngay quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.
Chú ý rằng 
.
Trang 113
Do đó = 
.
Luyện tập 1. Tính 
.
HĐ2. Nhận biết khái niệm giới hạn một bên
Cho hàm số 
.
a) Cho 
và 
. Tính 
và 
.
b) Tìm giới hạn của các dãy số (
) và (
).
c) Cho các dãy số (
) và (
) bất kì sao cho 
và 
→ 1, 
→ 1, tính 
và 
.
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng ( ; b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f (x) khi x → , nếu với dãy số () bất kì thoả mãn < < b và → , ta có f () → L, kí hiệu  .• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; ). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f (x) khi x → nếu với dãy số () bất kì thoả mãn a < < và → , ta có f () → L, kí hiệu  . |
Ví dụ 4. Cho hàm số 
.
Tính 
và 
.
Giải
Với dãy số (
) bất kì sao cho 0 < <1 và → 1, ta có 
.
Do đó 
..
Tương tự, với dãy số () bất kì mà 1 < < 2, → 1, ta có 
, cho nên 
.
khi và chỉ khi 
Luyện tập 2. Cho hàm số 
Tính 
, 
và 
.
Trang 114
2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
HĐ3. Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực
Cho hàm số 
có đồ thị như Hình 5.4.
Hình 5.4
Giả sử (
) là dãy số sao cho 
> 1, 
. Tính f () và tim 
.
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số () bất kì,  và , ta có  , kí hiệu  hay f (x) → L khi x → +∞.• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (-∞; b). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn là số L khi x → -∞ nếu với dãy số ( ) bất kì,  và  , ta có , kí hiệu  hay f (x) → L khi x → -∞. |
Ví dụ 5. Cho 
. Sử dụng định nghĩa, tìm 
và 
.
Giải
Lấy dãy (
) bất kì sao cho 
và 
, ta có 
. Do đó 
.
Vậy . Tương tự, ta cũng có 
.
• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.
• Với c là hằng số, ta có: 
, 
.
• Với k là một số nguyên dương, ta có: 
, 
.
Trang 115
Ví dụ 6. Tính 
.
Giải
Ta có 
.
Luyện tập 3. Tính 
Vận dụng. Cho tam giác vuông OAB với A = (a, 0) và B = (0; 1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.
Hình 5.5
a) Tính h theo a.
b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?
c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?
3. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
a) Giới hạn vô cực
HĐ4. Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực
Xét hàm số 
có đồ thị như Hình 5.6.
Cho 
, chứng tỏ rằng 
.
Hình 5.6
Giả sử khoảng (a; b) chứa  và hàm số y = f (x) xác định trên (a; b) \ { }. Ta nói hàm số f (x) có giới hạn +∞ khi x → , nếu với dãy số ( ) bất kì, ∈ (a; b) \ { }, → ta có f () → +∞, kí hiệu  .Ta nói hàm số f (x) có giới hạn -∞ khi x → , kí hiệu  , nếu lim  . |
Ví dụ 7. Tính 
.
Giải
Xét hàm số 
. Lấy dãy số () bất kì sao cho ≠ 1, →1. Khi đó, | −1| → 0.
Do đó 
. Vậy 
.
Trang 116
Cho hàm số 
. Với các dãy số () và (
) cho bởi 
, 
, tính 
và 
.
• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng ( ; b). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn +∞ khi x → về bên phải nếu với dãy số () bất kì thoả mãn < < b, → ta có f () → +∞, kí hiệu  .• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; ). Ta nói hàm số f (x) có giới hạn +∞ khi x → về bên trái nếu với dãy số () bất kì thoả mãn a < < , → , ta có f () → +∞, kí hiệu  .• Các giới hạn một bên  và  được định nghĩa tương tự. |
Ví dụ 8. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải
Từ công thức khối lượng 
ta thấy m là một hàm số của v, với tập xác định là nửa khoảng [0;c). Rõ ràng khi v tiến gần tới vận tốc ánh sáng, tức là v → c, ta có 
. Do đó 
, nghĩa là khối lượng m của vật trở nên vô cùng lớn khi vận tốc của vật gần với vận tốc ánh sáng.
Luyện tập 4. Tính các giới hạn sau:
a) 
;
b) 
.
Chú ý. Các giới hạn 
, 
, 
và 
được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f (x) tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số y = f (x), xác định trên khoảng (a; +∞), có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (
) bất kì, > a và → +∞, ta có 
, kí hiệu 
hay khi x → +∞.
Một số giới hạn đặc biệt:
• 
với k nguyên dương,
• 
với k là số chẵn
• 
với k là số lẻ.
Trang 117
b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực
Chú ý các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.
Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.
• Quy tắc tìm giới hạn của tích f (x) g (x).
Giả sử 
và 
(hoặc −∞). Khi đó 
được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:
 |  | |
| L > 0 | +∞ | +∞ |
| -∞ | -∞ | |
| L < 0 | +∞ | -∞ |
| -∞ | +∞ |
• Quy tắc tìm giới hạn của thương 
.
| | Dấu của g (x) |  |
| L | ±∞ | Tùy ý | 0 |
| L > 0 | 0 | + | +∞ |
| − | +∞ | ||
| L < 0 | 0 | + | -∞ |
| − | -∞ |
Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp x → 
, x → 
Ví dụ 9. Tính 
.
Giải
Ta sử dụng quy tắc tìm giới hạn của thương. Rõ ràng, giới hạn của tử số 
.
Ngoài ra, mẫu số nhận giá trị dương với mọi x ≠ 0 và lim 
. Do vậy 
.
Ví dụ 10. Tính 
và 
.
Giải
Viết 
, ta có 
. Hơn nữa 
do 1 < x < 0 khi x >1
Áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích, ta được 
.
Lí luận tương tự, ta có 
Trang 118
Luyện tập 5. Tính 
và 
.
BÀI TẬP
5.7. Cho hai hàm số
và g (x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
a) f (x) = g (x);
b) 
..
5.8. Tính các giới hạn sau:
a) 
;
b)
5.9. Cho hàm số 
(hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/mở của dòng điện tại thời điểm t = 0).
Tính 
và 
.
5.10. Tính các giới hạn một bên:
a) 
;
b) 
5.11. Cho hàm số 
.
Tìm 
và 
.
5.12. Tính các giới hạn sau:
a) 
;
b) 
.
5.13. Cho hàm số 
.
Tìm 
và 
.
