Trang 5
Chương này giới thiệu khái niệm góc lượng giác, giá trị lượng giác của góc lượng giác, các công thức lượng giác cơ bản, hàm số lượng giác, cách giải phương trình lượng giác cơ bản và một số ứng dụng của lượng giác trong thực tiễn.
| THUẬT NGỮ • Góc lượng giác • Số đo của góc lượng giác • Đường tròn lượng giác • Giá trị lượng giác của góc lượng giác • Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Nhận biết các khái niệm cơ bản về góc lượng giác. • Nhận biết khái niệm giá trị lượng giác của một góc lượng giác. • Mô tả bảng giá trị lượng giác của một số góc lượng giác thường gặp; hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác; quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt: bù nhau, phụ nhau, đổi nhau, hơn kém nhau π. • Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác khi biết số đo của góc đó. • Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giá trị lượng giác của góc lượng giác. |
Trạm vũ trụ Quốc tế ISS (tên Tiếng Anh: International Space Station) nằm trong quỹ đạo tròn cách bề mặt Trái Đất khoảng 400 km (H.1.1). Nếu trạm mặt đất theo dõi được trạm vũ trụ ISS khi nó nằm trong góc 45° ở tâm của quỹ đạo tròn này phía trên ăng-ten theo dõi, thì trạm vũ trụ ISS đã di chuyển được bao nhiêu kilômét trong khi nó đang được trạm mặt đất theo dõi? Giả sử rằng bán kính của Trái Đất là 6 400 km. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị.
Hình 1.1
Trang 6
1. GÓC LƯỢNG GIÁC
a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác
HĐ1. Nhận biết khái niệm góc lượng giác
12 giờ 10 phút
Hình 1.2
Trên đồng hồ ở Hình 1.2, kim phút đang chỉ đúng số 2.
a) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay ngược chiều kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
b) Phải quay kim phút mấy phần của một vòng tròn theo chiều quay của kim đồng hồ để nó chỉ đúng số 12?
c) Có bao nhiêu cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12?
| Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou, Ov. Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om quay quanh điểm O, theo một chiều nhất định tử Ou đến Ov, thì ta nỗi nó quét một góc lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou,Ov). |
Góc lượng giác (Ou, Ov) chỉ được xác định khi ta biết được chuyển động quay của tia Om từ tia đầu Ou đến tia cuối Ov (H.1.3). Ta quy ước: Chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.
Hình 1.3
Khi đó, nếu tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng ta nói tia Om quay góc 360°, quay đúng 2 vòng ta nói nó quay góc 720°; quay theo chiều âm nửa vòng ta nói nổ quay góc –180°, quay theo chiều âm 1,5 vòng ta nói nó quay góc –1,5 · 360° = 540°,...
Khi tia Om quay góc ∝° thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo ∝°. Số đo của góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov được kí hiệu là sđ (Ou, Ov).
sđ (Ou,Ov) = 360°
đ (Ou,Ov) = 720°
sd (Ou,Ov)=-180°
sđ (Ou,Ov) = -540°
| Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo của nó. |
Chú ý. Cho hai tia Ou, Ov thì có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là (Ou,Ov). Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của 360°.
Trang 7
Ví dụ 1. Cho góc hình học uOv có số đo 60° (H.1.4). Xác định số đo của các góc lượng giác (Ou,Ov) và (Ov,Ou).
Hình 1.4
Giải
Ta có:
– Các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov có số đo là sđ (Ou, Ov) = 60° + k360° (k ∈ Z).
– Các góc lượng giác tia đầu Ov, tia cuối Ou có số đo là sđ (Ov, Ou)= -60° + k360° (k ∈ Z).
Luyện tập 1. Cho góc hình học uOv = 45°. Xác định số đo của góc lượng giác (Ou, Ov) trong mỗi trường hợp sau:
a)
b)
b) Hệ thức Chasles
HĐ2. Nhận biết hệ thức Chasles
Cho ba tia Ou, Ov, Ow với số đo của các góc hình học uốv và vOw lần lượt là 30° và 45°.
Hình 1.5
a) Xác định số đo của ba góc lượng giác (Ou, Ov), (Ov, Ow) và (Ou, Ow) được chỉ ra ở Hình 1.5.
b) Với các góc lượng giác ở câu a, chứng tỏ rằng có một số nguyên để sđ (Ou, Ov) + sđ (Ov, Ow) = sđ (Ou, Ow) + k360°.
| Hệ thức Chasles: Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có sđ (Ou, Ov) + sđ (Ov, Ow) = sđ (Ou,Ow) + k360° (k ∈ Z). |
Nhận xét. Từ hệ thức Chasles, ta suy ra:
Với ba tia tuỳ ý Ox, Ou, Ov ta có
sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, Ov) - sđ (Ox, Ou) + k360° (k ∈ Z).
Hệ thức này đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán số đo của góc lượng giác.
Ví dụ 2. Cho một góc lượng giác (Ox, Ou) có số đo –270° và một góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo 135°. Tính số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov).
Hệ thức này tương tự công thức 
= 
- 
.
Trang 8
Giải
Số đo của các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov là
sđ (Ou, Ov) = sđ (Ox, Ov) - sđ (Ox, Ou) + k360°
= 135° - (-270°) + k360° - 405° + k360°
= 45° + (k+1)360° = 45° + m360° (m = k + 1, m ∈ Z).
Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là 45° + m360° (m ∈ Z).
Luyện tập 2. Cho một góc lượng giác (Ox, Ou) có số đo 240° và một góc lượng giác (Ox, Ov) có số đo –270°. Tính số đo của các góc lượng giác (Ou, Ov).
2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN
a) Đơn vị đo góc và cung tròn
Đơn vị độ: Để đo góc, ta dùng đơn vị độ. Ta đã biết. Góc 1° bằng 
góc bẹt.
Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn: 1° = 60'; 1' = 60".
Đối với các góc lượng giác, khi mà số vòng quay trong chuyển động tương ứng từ tia đầu đến tia cuối là khá lớn thì số đo của chúng tinh bằng độ sẽ trở nên cồng kềnh. Do đó, trong khoa học và kĩ thuật, bên cạnh việc đo bằng độ, người ta còn sử dụng đơn vị đo góc bằng rađian.
Đơn vị rađian: Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R và một cung AB trên (O) (H.1.6).
Hình 1.6
| Ta nói cung tròn AB có số đo bằng 1 rađian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R. Khi đó ta cũng nói rằng góc AOB có số đo bằng 1 rađian và viết:  = 1 rad. |
Quan hệ giữa độ và rađian: Do đường tròn có độ dài là 2πR nên nó có số đo 2π rad. Mặt khác, đường tròn có số đo bằng 360° nên ta có 360° = 2π rad.
Do đó ta viết:
1° =  rad và 1rad =  |
Chú ý. Khi viết số đo của một góc theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn góc 
được hiểu là góc rad.
Trang 9
Ví dụ 3
a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau: 45°; 150°.
b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: 
; 
.
Giải
a) Ta có:
45° = 45 · 
= 
;
150° = 150 · = 
b) Ta có:
= · = 60°;
= · = 225°.
∝° = ∝ · rad.
∝rad = ∝ · .
Luyện tập 3
a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau: 360°; -450°;
b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: 3π; 
Chú ý. Dưới đây là bảng tương ứng giữa số đo bằng độ và số đo bằng rađian của các góc đặc biệt trong phạm vi từ 0° đến 180°
| Độ | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
| Rađian | 0 |  |  | |  |  |  |  | π |
b) Độ dài cung tròn
HĐ3. Xây dựng công thức tính độ dài của cung tròn
Cho đường tròn bán kính R.
a) Độ dài của cung tròn có số đo bằng 1 rad là bao nhiêu?
b) Tinh độ dài l của cung tròn có số đo ∝ rad.
| Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo a rad thì có độ dài I = R∝. |
Ví dụ 4. Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Giải
Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là R = 6 400 + 400 = 6 800 (km).
Đổi 45° = 45 · = rad.
Trang 10
Vậy trong khi được trạm mặt đất theo dõi, trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là l = R∝ = 6800 · ≈ 5340,708 = 5341 (km).
Vận dụng 1. Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là 184 cm, bánh xe trước có đường kính là 92 cm, xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận tốc của bánh xe sau trong chuyển động này là 80 vòng/phút.
a) Tính quãng đường đi được của máy kéo trong 10 phút.
b) Tính vận tốc của máy kéo (theo đơn vị km/giờ).
c) Tinh vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/phút).
3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC
a) Đường tròn lượng giác
HĐ4. Nhận biết khái niệm đường tròn lượng giác
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường tròn tâm O bán kính R = 1. Chọn điểm gốc của đường tròn là giao điểm A(1;0) của đường tròn với trục Ox. Ta quy ước chiều dưỡng của đường tròn là chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ và chiều âm là chiều quay của kim đồng hồ.
a) Xác định điểm M trên đường tròn sao cho sđ (OA, OM)
b) Xác định điểm N trên đường tròn sao cho sđ (OA, ON)
Hình 1.7
| • Đường tròn lượng giác là đường tròn có tâm tại gốc toạ độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn. • Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo ∝ (độ hoặc rađian) là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ (OA, OM) = ∝. |
Ví dụ 5. Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng 
và -150°.
Hình 1.8
Giải
Điểm M trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng được xác định trong Hình 1.8.
Điểm M trên đường đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng -150° được xác định trong Hình 1.8.
Trang 11
Luyện tập 4. Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có số đo bằng 
và 420°.
b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác
HĐ4. Nhắc lại khái niệm các giá trị lượng giác sin∝, cos∝, tan∝, cot∝ của góc ∝ (0° ≤ ∝ ≤180°) đã học ở lớp 10 (H.1.9a).
Hình 1.9a
Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các góc lượng giác có số đo tuỳ ý như sau: Giả sử M(x; y) là điểm trên đường tròn lượng giác, biểu diễn góc lượng giác có số đo ∝. (H.1.9b).
Hình 1.9b
| • Hoành độ x của điểm M được gọi là côsin của ∝, kí hiệu là cos∝. cosα = x. • Tung độ y của điểm M được gọi là sin của ∝, kí hiệu là sin∝. sin∝ = y. • Nếu cos∝ ≠ 0, tỉ số  được gọi là tang của α, kí hiệu là tanα. • Nếu sin∝ ≠ 0 , tỉ số  được gọi là côtang của α, kí hiệu là cotα. • Các giá trị cosα, sinα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của α. |
Chú ý
a) Ta còn gọi trục tung là trục sin, trục hoành là trục côsin.
b) Từ định nghĩa ta suy ra:
• sinα, cosα xác định với mọi giá trị của α và ta có:
-1 ≤ sinα ≤ 1; -1 ≤ cosα ≤ 1; sin(α+k2π) = sinα; cos(α+k2π) = cosα (k ∈ Z).
• tanα xác định khi α ≠ 
+ kπ (k ∈ Z).
• cotα xác định khi α ≠ kπ (k ∈ Z).
Trang 12
• Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên đường tròn lượng giác (H.1.10).
| Giá trị lượng giác / Góc phần tư | I | II | III | IV |
| cosα | + | + | ||
| sinα | + | + | ||
| tanα | + | + | ||
| cot | + | + |
Hình 1.10
Ví dụ 5. Cho gốc lượng giác có số đo bằng 
a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.
b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.
Giải
Hình 1.11
a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo là được xác định trong Hình 1.11.
b) Ta có:
; 
;
; 
.
Luyện tập 4. Cho góc lượng giác có số đo bằng 
.
a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.
b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.
c) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
| Góc α | 0 |  |  |  |  |
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | |
| sinα | 0 |  |  |  | 1 |
| cosα | 1 | | | | 0 |
| cotα | 0 |  | 1 |  | Không xác định |
| tanα | Không xác định | | 1 | | 0 |
Trang 13
d) Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác của góc
Có thể dùng máy tính cầm tay đề tinh giá trị lượng giác của góc lượng giác và đổi số đo độ của cung tròn ra rađian và ngược lại.
Ví dụ 6. Sử dụng máy tính cầm tay để tính: sin chữ số thập phân thứ tư).
Giải
| Tính | Bấm phím | Màn hình hiện | Kết quả |
 |  | -0.707106781 | -0,7071 |
| tan63°52'41" |  | 2.039276645 | 2,0393 |
Ví dụ 7.
a) Đổi 33°45' sang rađian;
b) Đổi 
(rad) sang độ.
Giải
| Đổi số đo | Bấm phím | Màn hình hiện | Kết quả |
| 33°45' |  | 0.589048622 | 0,5890 (rad) |
| (rad) |  | 42°58'19" | 42°58'19" |
Luyện tập 5. Sử dụng máy tính cầm tay để:
a) Tính: cos
; tan(–37°25');
b) Đổi 179°23'30" sang rađian;
c) Đổi 
(rad) sang độ.
4. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
a) Các công thức lượng giác cơ bản
HĐ5. Nhận biết các công thức lượng giác cơ bản
a) Dựa vào định nghĩa của sinα và cosα, hãy tính 
b) Sử dụng kết quả của HĐ5a và định nghĩa của tanα, hãy tính 1 + 
.
Trang 14
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hệ thức cơ bản sau:
|
|
, k ∈ Z)Ví dụ 8. Tỉnh các giả trị lượng giác của góc a, biết sinα = 
và 90° <α<180°.
Giải
Vì 90° < α < 180° nên cosα < 0. Mặt khác, từ 
suy ra
.
Do đó, 
và 
.
Luyện tập 6. Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết: cosα = 
và π < α < 
.
b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
HĐ6. Nhận biết liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc đối nhau
Xét hai điểm M, N trên đường tròn lượng giác xác định bởi hai góc đối nhau (H1.12a).
a) Có nhận xét gì về vị trí của hai điểm M, N đối với hệ trục Oxy. Từ đó rút ra liên hệ giữa cos(-α) và cosα; sin(−α) và sinα.
b) Từ kết quả HĐ6a, rút ra liên hệ giữa: tan(−α) và tanα; cot(−α) và cotα.
Với kết quả HĐ6, ta có liên hệ giữa các giá trị lượng giác:
• Góc đối nhau (α và -α)
| cos(-α) = cosα sin(-α) = - sinα tan(-α) = -tanα cot(-α) = -cotα. |
Hình 1.12a
Trang 15
Tương tự HĐ6, ta cũng có liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc bù nhau, phụ nhau và hơn kém π, như sau:
• Góc bù nhau (α và π - α)
Hình 1.12b
| sin(π - α) = sinα cos(π - α) = cosα tan(π - α) = tanα cot(π - α) = -cotα. |
• Góc phụ nhau (α và 
- α)
Hình 1.12c
| sin - α = cosα cos - α = sinαtan - α = cotαcot - α = tanα |
• Góc hơn kém π (α và π + α)
Hình 1.12d
| sin(π + α) = -sinα cos(π +α) = -cosα tan(π + α) = tanα cot(π + α) = cotα. |
Chú ý. Nhờ các công thức trên, ta có thể đưa việc tinh giá trị lượng giác của một góc lượng
giác bất kì về việc tinh giá trị lượng giác của góc α với 0 ≤ α ≤ 
.
Ví dụ 9. Tính: a) cos
; b) cot (-675°).
Giải. Ta có:
a) 
.
b) cot (-675°) = cot (45° - 2·360°) = cot45° = 1.
Luyện tập 7. Tính: a) sin(-675°); b) 
Trang 16
Vận dụng 2. Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức:
B(t) = 80 + 7sin
trong đó t là số giờ tinh từ lúc nửa đêm và B(t) tính bằng mmHg (milimét thuỷ ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau:
a) 6 giờ sáng;
b) 10 giờ 30 phút sáng;
c) 12 giờ trưa;
d) 8 giờ tối.
BÀI TẬP
1.1. Hoàn thành bảng sau:
| Số đo độ | 15° | ? | 0° | 900° | ? | ? |
| Số do rađian | ? |  | ? | ? |  |  |
1.2. Một đường tròn có bán kính 20 cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:
a) 
b) 1,5;
c) 35°;
d) 315°.
1.3. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:
a) 
b) 
c) 150°;
d) -225°.
1.4. Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:
a) cosα = 
và 0< α < 
;
b) sinα = 
và < α < π;
c) tanα = 
và π < α < 
d) cotα = 
và < α < 2π.
1.5. Chứng minh các đẳng thức:
a) 
;
b) 
.
1.6. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kinh của bánh xe đạp là 680 mm.
