Mở đầu trang 17 Toán 11 Tập 1: Một thiết bị trễ kĩ thuật số lặp lại tín hiệu đầu vào bằng cách lặp lại tín hiệu đó trong một khoảng thời gian cố định sau khi nhận được tín hiệu. Nếu một thiết bị như vậy nhận được nốt thuần f1(t) = 5sin t và phát lại được nốt thuần f2(t) = 5cos t thì âm kết hợp là f(t) = f1(t) + f2(t), trong đó t là biến thời gian. Chứng tỏ rằng âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), tức là âm kết hợp là một sóng âm hình sin. Hãy xác định biên độ âm k và pha ban đầu φ (– π ≤ φ ≤ π) của sóng âm.
Lời giải:
Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:
Ta có: f(t) = f1(t) + f2(t) = 5sin t + 5 cos t = 5(sin t + cos t)
Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được
1. Công thức cộng
HĐ1 trang 17 Toán 11 Tập 1: Nhận biết công thức cộng
a) Cho 
, hãy chứng tỏ cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
b) Bằng cách viết a + b = a – (– b) và từ công thức ở HĐ1a, hãy tính cos(a + b).
c) Bằng cách viết 
và sử dụng công thức vừa thiết lập ở HĐ1b, hãy tính sin(a – b).
Lời giải:
a) Ta có: 
nên 
cos a cos b + sin a sin b
Vậy với 
, ta thấy cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b.
b) Ta có: cos(a + b) = cos[a – (– b)] = cos a cos(– b) + sin a sin(– b)
Mà cos(– b) = cos b, sin(– b) = – sin b (hai góc đối nhau).
Do đó, cos(a + b) = cos a cos b + sin a . (– sin b) = cos a cos b – sin a sin b.
c) Ta có: 
Vậy sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.
Luyện tập 1 trang 18 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:
Lời giải:
a) Ta có: 
b) Ta có: 
Vận dụng 1 trang 18 Toán 11 Tập 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.
Lời giải:
Ta có: f(t) = f1(t) + f2(t) = 5sin t + 5 cos t = 5(sin t + cos t)
Theo Ví dụ 2 trang 18 SGK Toán lớp 11 Tập 1, ta chứng minh được
Do đó, 
Vậy âm kết hợp viết được dưới dạng f(t) = ksin (t + φ), trong đó biên độ âm 
và pha ban đầu của sóng âm là 
2. Công thức nhân đôi
HĐ2 trang 18 Toán 11 Tập 1: Xây dựng công thức nhân đôi
Lấy b = a trong các công thức cộng, hãy tìm công thức tính: sin 2a; cos 2a; tan 2a.
Lời giải:
Ta có:
+) sin 2a = sin(a + a) = sin a cos a + cos a sin a = sin a cos a + sin a cos a = 2 sin a cos a.
+) cos 2a = cos (a + a) = cos a cos a – sin a sin a = cos2 a – sin2a
Mà sin2 a + cos2 a = 1, suy ra sin2 a = 1 – cos2 a và cos2 a = 1 – sin2 a.
Do đó, cos 2a = cos2 a – sin2 a = 2cos2 a – 1 = 1 – 2sin2 a.
+) tan 2a = tan (a + a) = 
Luyện tập 2 trang 19 Toán 11 Tập 1: Không dùng máy tính, tính 
Lời giải:
Ta có: 
Suy ra 
Vì 
nên suy ra 
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
HĐ3 trang 19 Toán 11 Tập 1: Xây dựng công thức biến đổi tích thành tổng
a) Từ các công thức cộng cos(a + b) và cos(a – b), hãy tìm: cos a cos b; sin a sin b.
b) Từ các công thức cộng sin(a + b) và sin(a – b), hãy tìm: sin a cos b.
Lời giải:
a) Ta có: cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b (1);
cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b (2).
Lấy (1) và (2) cộng vế theo vế, ta được: cos(a + b) + cos(a – b) = 2cos a cos b.
Từ đó suy ra, cos a cos b = 1/2 [cos(a + b) + cos(a – b)].
Lấy (2) trừ vế theo vế cho (1), ta được: cos(a – b) – cos(a + b) = 2sin a sin b.
Từ đó suy ra, sin a sin b = 1/2 [cos(a – b) – cos(a + b)].
b) Ta có: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (3);
sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b (4).
Lấy (3) và (4) cộng vế theo vế, ta được: sin(a + b) + sin(a – b) = 2sin a cos b.
Từ đó suy ra, sin a cos b = 1/2[sin(a + b) + sin(a – b)].
Luyện tập 3 trang 19 Toán 11 Tập 1: Không dùng máy tính, tính giá trị của các biểu thức:
Lời giải:
Ta có:
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
HĐ4 trang 20 Toán 11 Tập 1: Xây dựng công thức biến đổi tổng thành tích
Trong các công thức biến đổi tích thành tổng ở Mục 3, đặt u = a – b, v = a + b và viết các công thức nhận được.
Lời giải:
Ta có: cos a cos b = 1/2 [cos(a – b) + cos(a + b)] (1);
sin a sin b = 1/2 [cos(a – b) – cos(a + b)] (2);
sin a cos b = 1/2 [sin(a – b) + sin(a + b)] (3).
Đặt u = a – b, v = a + b.
Ta có: u + v = (a – b) + (a + b) = 2a và u – v = (a – b) – (a + b) = – 2b.
Suy ra, 
Khi đó:
Luyện tập 4 trang 20 Toán 11 Tập 1: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức 
Lời giải:
Ta có: 
Vận dụng 2 trang 20 Toán 11 Tập 1: Khi nhấn một phím trên điện thoại cảm ứng, bàn phím sẽ tạo ra hai âm thuần, kết hợp với nhau để tạo ra âm thanh nhận dạng duy nhất phím. Hình 1.13 cho thấy tần số thấp f1 và tần số cao f2 liên quan đến mỗi phím. Nhấn một phím sẽ tạo ra sóng âm y = sin(2πf1t) + sin(2πf2t), ở đó t là biến thời gian (tính bằng giây).
a) Tìm hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4.
b) Biến đổi công thức vừa tìm được ở câu a về dạng tích của một hàm số sin và một hàm số côsin.
Lời giải:
a) Quan sát Hình 1.13, ta nhận thấy khi nhấn phím 4, âm thanh được tạo ra có tần số thấp f1 = 770 Hz và tần số cao f2 = 1 209 Hz.
Khi đó, hàm số mô hình hóa âm thanh được tạo ra khi nhấn phím 4 là
y = sin(2π . 770t) + sin(2π . 1 209t) hay y = sin(1 540πt) + sin(2 418πt).
b) Ta có:
sin(1 540πt) + sin(2 418πt)
= 2sin(1 979πt) cos(– 439πt)
= 2sin(1 979πt) cos(439πt).
Vậy ta có hàm số y = 2sin(1 979πt) cos(439πt).
Bài tập
Bài 1.7 trang 21 Toán 11 Tập 1: Sử dụng 15° = 45° – 30°, hãy tính các giá trị lượng giác của góc 15°.
Lời giải:
Ta có:
+) sin 15° = sin(45° – 30°) = sin 45° cos 30° – cos 45° sin 30°
+) cos 15° = cos(45° – 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
Bài 1.8 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính:
Lời giải:
a) Vì 
nên cos a < 0.
Mặt khác, từ sin2 a + cos2 a = 1 suy ra
Ta có: 
b) Vì 
nên sin a < 0, do đó 
Mặt khác từ 
Suy ra 
Ta có: 
Bài 1.9 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính sin 2a, cos 2a, tan 2a, biết:
Lời giải:
a) Vì 
nên cos a < 0.
Mặt khác, từ sin2 a + cos2 a = 1 suy ra
Ta có: sin 2a = 2sin a cos a
b) Ta có: 
Vì 
nên 
do đó cos 2a < 0. Mặt khác từ sin2 (2a) + cos2 (2a) = 1
Suy ra 
Do đó, 
Bài 1.10 trang 21 Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:
Lời giải:
a) Ta có:
b) Ta có:
Bài 1.11 trang 21 Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau:
sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a.
Lời giải:
Ta có: 
Vậy sin(a + b) sin(a – b) = cos2 b – cos2 a (1).
Lại có, cos 2b – cos 2a = (1 – 2sin2 b) – (1 – 2sin2 a) = 2(sin2 a –sin2 b)
Do đó, 
Vậy sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b (2).
Từ (1) và (2), suy ra sin(a + b) sin(a – b) = sin2 a – sin2 b = cos2 b – cos2 a (đpcm).
Bài 1.12 trang 21 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác ABC có góc B = 75° ; góc C= 45° và a = BC = 12 cm.
a) Sử dụng công thức 
và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác ABC cho bởi công thức
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.
Lời giải:
a) Định lí sin trong tam giác ABC với BC = a, AC = b và AB = c là: 
Từ đó suy ra 
Diện tích tam giác ABC là 
Vậy 
(đpcm).
b) Ta có: 
(định lí tổng ba góc trong tam giác ABC).
Ta có: 
Vậy diện tích của tam giác ABC là 
Bài 1.13 trang 21 Toán 11 Tập 1: Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức x(t) = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0) và φ ∈ [–π; π] là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hòa có phương trình:
Tìm dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này.
Lời giải:
Dao động tổng hợp x(t) = x1(t) + x2(t)
Suy ra 
Ta có: 
Vậy dạo động tổng hợp có phương trình là 
với biên độ 
và pha ban đầu là 
