1. Khái niệm mở đầu
Câu hỏi trang 71 Toán 11 Tập 1: Hãy tìm một số hình ảnh của mặt phẳng trong thực tế.
Lời giải:
Một số hình ảnh của mặt phẳng trong thực tế: mặt bàn, mặt gương phẳng, mặt sàn phẳng, trần nhà phẳng,...
HĐ1 trang 71 Toán 11 Tập 1: Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh về một điểm thuộc mặt phẳng. Hãy tìm thêm các ví dụ khác cũng gợi cho ta hình ảnh đó.
Lời giải:
- Một cục nam châm tròn nhỏ gắn trên mặt bảng cho ta hình ảnh về một điểm thuộc mặt phẳng;
- Một chiếc đầu đinh được gắn vào mặt bàn khi đinh đóng vào bàn cho ta hình ảnh về một điểm thuộc mặt phẳng;
- Một lỗ thủng nhỏ do kim đâm trên mặt vải;
- Một chấm mực nhỏ trên tờ giấy;
HĐ1 trang 71 Toán 11 Tập 1: Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh về một điểm thuộc mặt phẳng. Hãy tìm thêm các ví dụ khác cũng gợi cho ta hình ảnh đó.
Lời giải:
- Một cục nam châm tròn nhỏ gắn trên mặt bảng cho ta hình ảnh về một điểm thuộc mặt phẳng;
- Một chiếc đầu đinh được gắn vào mặt bàn khi đinh đóng vào bàn cho ta hình ảnh về một điểm thuộc mặt phẳng;
- Một lỗ thủng nhỏ do kim đâm trên mặt vải;
- Một chấm mực nhỏ trên tờ giấy;
2. Các tính chất thừa nhận
HĐ2 trang 72 Toán 11 Tập 1: Chiếc xà ngang đặt tựa lên hai điểm A, B của trụ nhảy thể hiện hình ảnh của một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Có thể tìm được một đường thẳng khác cũng đi qua hai điểm A, B này không?
Lời giải:
Không thể tìm được đường thẳng nào khác đi qua hai điểm A, B đã cho ngoài đường thẳng tạo bởi xà ngang.
Câu hỏi trang 72 Toán 11 Tập 1: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm trong số ba điểm không thẳng hàng?
Lời giải:
Cho 3 điểm không thẳng hàng, để tạo được 1 đường thẳng từ 2 trong 3 điểm đó, ta lấy 2 điểm bất kì và xác định đường thẳng đi qua 2 điểm đó. Khi đó số đường thẳng tạo thành là C32 = 3.
HĐ3 trang 72 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 4.4 là một khối rubik có bốn đỉnh và bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác.
a) Đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn. Khi đó, mặt màu đỏ của khối rubik có nằm trên mặt bàn hay không?
b) Có thể đặt khối rubik sao cho 4 đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn hay không?
Lời giải:
a) Khi đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn, mặt màu đỏ của khối rubik nằm trên mặt bàn.
b) Không thể đặt khối rubik sao cho 4 đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn.
Câu hỏi trang 72 Toán 11 Tập 1: Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng?
Lời giải:
Qua ba điểm thẳng hàng, ta xác định được duy nhất một đường thẳng. Có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng này nên có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng.
Luyện tập 1 trang 72 Toán 11 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn đỉnh của tứ giác đó?
Lời giải:
Vì 4 điểm A, B, C, D tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm A, B, C, D đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng (ABCD).
Vậy có 1 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vận dụng 1 trang 72 Toán 11 Tập 1: Hãy giải thích tại sao trong thực tiễn có nhiều đồ vật được thiết kế gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nổi,...
Lời giải:
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng. Do đó, khi thiết kế các đồ vật gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nổi,... ta thấy các đồ vật này có thể đứng thẳng mà không bị đổ trên các bề mặt bởi vì các ba chân của các đồ vật này giống như 3 điểm không thẳng hàng và có một mặt phẳng đi qua 3 điểm này, mặt phẳng này trùng với mặt phẳng của các bề mặt. Điều này giúp các đồ vật có thể giữ được trạng thái thăng bằng, vững chãi mà không bị nghiêng hay đổ.
HĐ4 trang 73 Toán 11 Tập 1: Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây có nằm trên mặt bàn hay không?
Lời giải:
Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây nằm trên mặt bàn.
Luyện tập 2 trang 73 Toán 11 Tập 1: Trong Ví dụ 2, lấy điểm N thuộc đường thẳng AB sao cho N khác M. Đường thẳng MN có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không?
Lời giải:
Đường thẳng AB có hai điểm phân biệt A, B thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng AB nằm trong mặt phẳng (ABC). Vì N thuộc đường thẳng AB nên N thuộc mặt phẳng (ABC).
Theo Ví dụ 2, ta có điểm M thuộc mặt phẳng (ABC). Khi đó đường thẳng MN có hai điểm phân biệt M, N thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng MN nằm trong mặt phẳng (ABC).
HĐ5 trang 73 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể có giao nhau theo đường thẳng hay không?
Lời giải:
Trong Hình 4.7, mặt nước (lúc tĩnh lặng) và thành bể là hai mặt phẳng và chúng giao nhau theo đường thẳng, phần giao nhau của hai mặt phẳng này là đường mực nước trên thành bể.
Luyện tập 3 trang 74 Toán 11 Tập 1: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).
Lời giải:
Ta có hai đường thẳng BM và CN cắt nhau tại điểm A.
Do đó, điểm A thuộc đường thẳng BM nên cũng thuộc mặt phẳng (SBM), điểm A thuộc đường thẳng CN nên cũng thuộc mặt phẳng (SCN). Vậy A là một điểm chung của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).
Vì S và A là hai điểm chung của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN) nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng SA. Ta viết SA = (SBM) ∩ (SCN).
3. Các xác định một mặt phẳng
HĐ6 trang 74 Toán 11 Tập 1: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C phân biệt (H.4.9). Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d hay không? Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC hay không?
Lời giải:
Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt B, C thuộc mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (ABC) hay mặt phẳng (ABC) chứa đường thẳng d. Điểm A thuộc mặt phẳng (ABC) hay mặt phẳng (ABC) chứa điểm A.
Mặt phẳng (ABC) chứa các điểm A, B, C nên mặt phẳng (ABC) chứa hai đường thẳng AB và BC.
Luyện tập 4 trang 75 Toán 11 Tập 1: Trong Ví dụ 4, vẽ một đường thẳng c cắt cả hai đường thẳng a và b. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: mp(S, a) và mp(S, c); mp(S, b) và mp(S, c).
Lời giải:
Gọi L là giao điểm của a và c, K là giao điểm của b và c.
Vì L thuộc a nên L thuộc mp(S, a). Vì L thuộc c nên L thuộc mp(S, c). Hai điểm S và L cùng thuộc mp(S, a) và mp(S, c) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng SL.
Vì K thuộc b nên K thuộc mp(S, b). Vì K thuộc c nên K thuộc mp(S, c). Hai điểm S và K cùng thuộc mp(S, b) và mp(S, c) nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng SK.
Vận dụng 2 trang 75 Toán 11 Tập 1: Để tránh cho cửa ra vào không bị va đập vào các đồ xung quanh (do mở cửa quá mạnh hoặc do gió to đập cửa), người ta thường sử dụng một phụ kiện là hít cửa nam châm. Hãy giải thích tại sao khi cửa được hút tới vị trí của nam châm thì cánh cửa được giữ cố định.
Lời giải:
Phụ kiện hít cửa nam châm đại diện cho 1 điểm cố định, một cạnh của cánh cửa đại diện cho một đường thẳng không chứa điểm phụ kiện hít cửa nam châm. Chính vì vậy có một mặt phẳng được xác định khi phụ kiện hít cửa và một cạnh của cánh cửa, khi đó cánh cửa luôn được giữa cố định.
4. Hình chóp và hình tứ diện
HĐ7 trang 75 Toán 11 Tập 1: Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình chóp tam giác đều mà em đã học ở lớp 8?
Lời giải:
Các hình ảnh đã cho đều có các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.
Luyện tập 5 trang 76 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi tên các mặt bên và mặt đáy của hình chóp đó.
Lời giải:
Hình chóp S.ABCD có
+ Bốn mặt bên là các tam giác SAB, SBC, SCD, SDA.
+ Một mặt đáy là tứ giác ABCD.
HĐ8 trang 76 Toán 11 Tập 1: Trong các hình chóp ở HĐ7, hình chóp nào có ít mặt nhất? Xác định số cạnh và số mặt của hình chóp đó.
Lời giải:
Trong các hình chóp ở HĐ7, hình chóp thứ ba tính từ trái sang (hình khối rubik) có ít mặt nhất.
Hình chóp này có 6 cạnh và 4 mặt.
Luyện tập 6 trang 76 Toán 11 Tập 1: Trong Ví dụ 6, xác định giao điểm của đường thẳng DF và mặt phẳng (ABC).
Lời giải:
Vì điểm E nằm trong tam giác BCD nên đường thẳng DE cắt cạnh BC tại một điểm K. Các điểm A, E thuộc mặt phẳng (ADK) nên đường thẳng AE thuộc mặt phẳng (ADK), do đó điểm F thuộc mặt phẳng (ADK). Như vậy các điểm A, D, E, F, K cùng thuộc mặt phẳng (ADK).
Trong tam giác ADK, đường thẳng DF cắt AK tại G. Vì G thuộc AK và A, K cùng thuộc mặt phẳng (ABC) nên G thuộc mặt phẳng (ABC). Vậy G là giao điểm của đường thẳng DF và mặt phẳng (ABC).
