Mở đầu trang 31 Toán 11 Tập 1: Một quả đạn pháo được bắn ra khỏi nòng pháo với vận tốc ban đầu có độ lớn v0 không đổi. Tìm góc bắn α để quả đạn pháo bay xa nhất, bỏ qua sức cản của không khí và coi quả đạn pháo được bắn ra từ mặt đất.
Lời giải:
Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:
Chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ đặt tại vị trí khẩu pháo, trục Ox theo hướng khẩu pháo như hình dưới đây.
Khi đó theo Vật lí, ta biết rằng quỹ đạo của quả đạn pháo có dạng đường parabol có phương trình 
(với g là gia tốc trọng trường).
Cho y = 0 ta được 
, suy ra x = 0 hoặc 
Quả đạn tiếp đất khi 
Ta có 
, dấu bằng xảy ra khi sin 2α = 1.
Giải phương trình sin 2α = 1, ta được 
k ∈ Z.
Do 
nên 
hay α = 45°.
Vậy quả đạn pháo sẽ bay xa nhất khi góc bắn bằng 45°.
1. Khái niệm phương trình tương đương
HĐ1 trang 31 Toán 11 Tập 1: Nhận biết khái niệm hai phương trình tương đương
Cho hai phương trình 2x – 4 = 0 và (x – 2)(x2 + 1) = 0.
Tìm và so sánh tập nghiệm của hai phương trình trên.
Lời giải:
+) Ta có: 2x – 4 = 0, suy ra x = 2.
Vậy tập nghiệm của phương trình 2x – 4 = 0 là S1 = {2}.
+) Ta có: (x – 2)(x2 + 1) = 0
Vì x2 ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ nên x2 + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.
Do đó, (x – 2)(x2 + 1) = 0 khi x – 2 = 0 hay x = 2.
Vậy tập nghiệm của phương trình (x – 2)(x2 + 1) = 0 là S2 = {2}.
+) Nhận thấy S1 = S2 = {2}. Vậy hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm.
Luyện tập 1 trang 32 Toán 11 Tập 1: Xét sự tương đương của hai phương trình sau:
Lời giải:
+) Ta có: 
, điều kiện x ≠ – 1.
Khi đó, 
khi x – 1 = 0 hay x = 1 (thỏa mãn).
Vậy tập nghiệm của phương trình 
là S1 = {1}.
+) Phương trình x2 – 1 = 0 được viết lại thành (x – 1)(x + 1) = 0, từ đó ta tìm được x = 1 hoặc x = – 1, do đó tập nghiệm của phương trình x2 – 1 = 0 là S2 = {– 1; 1}.
+) Nhận thấy S1 ≠ S2, vậy hai phương trình đã cho không tương đương.
2. Phương trình sinx = m
HĐ2 trang 32 Toán 11 Tập 1: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình sin x = 1/2
a) Quan sát Hình 1.19, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [0; 2π).
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số sin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Lời giải:
a) Từ Hình 1.19, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc 
và 
, lại có tung độ của điểm M và M' đều bằng 1/2 nên theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có 
và 
Vậy trong nửa khoảng [0; 2π), phương trình 
có hai nghiệm là 
, 
b) Vì hàm số sin có chu kì tuần hoàn là 2π nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là
Luyện tập 2 trang 34 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:
a) 
b) sin 3x = – sin 5x.
Lời giải:
Vậy phương trình 
có các nghiệm là 
và 
b) sin 3x = – sin 5x
⇔ sin 3x = sin (– 5x)
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là
3. Phương trình cosx = m
HĐ3 trang 34 Toán 11 Tập 1: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình cos x = -1/2
a) Quan sát Hình 1.22a, tìm các nghiệm của phương trình đã cho trong nửa khoảng [– π; π).
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm số côsin, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Lời giải:
a) Từ Hình 1.22a, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc 
và 
lại có hoành độ của điểm M và M' đều bằng -1/2 nên theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có 
Vậy trong nửa khoảng [– π; π), phương trình 
có hai nghiệm là 
, 
b) Vì hàm số cos có chu kì tuần hoàn là 2π nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là
Luyện tập 3 trang 35 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:
b) cos 3x – sin 5x = 0.
Lời giải:
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là 
và 
b) cos 3x – sin 5x = 0
⇔ cos 3x = sin 5x
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là 
và 
Vận dụng trang 35 Toán 11 Tập 1: Khi Mặt Trăng quay quanh Trái Đất, mặt đối diện với Trái Đất thường chỉ được Mặt Trời chiếu sáng một phần. Các pha của Mặt Trăng mô tả mức độ phần bề mặt của nó được Mặt Trời chiếu sáng. Khi góc giữa Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng là α (0° ≤ α ≤ 360°) thì tỉ lệ F của phần Mặt Trăng được chiếu sáng cho bởi công thức
(Theo trang usno.navy.mil).
Xác định góc α tương ứng với các pha sau của Mặt Trăng:
a) F = 0 (trăng mới);
b) F = 0,25 (trăng lưỡi liềm);
c) F = 0,5 (trăng bán nguyệt đầu tháng hoặc trăng bán nguyệt cuối tháng);
d) F = 1 (trăng tròn).
Lời giải:
a) Với F = 0, ta có 1/2(1 - cosα) ⇔ cos α = 1 ⇔ α = 0° hoặc α = 360° (do 0° ≤ α ≤ 360°).
Vậy α ∈ {0°; 360°}.
b) Với F = 0,25, ta có 1/2(1 - cosα) = 0,25 ⇔ cosα = 1/2
Mà 0° ≤ α ≤ 360° nên α ∈ {60°; 300°}.
c) Với F = 0,5, ta có 1/2(1 - cosα) ⇔ cos α = 0 ⇔ α = 90° + k180°, k ∈ ℤ.
Mà 0° ≤ α ≤ 360° nên α ∈ {90°; 270°}.
d) Với F = 1, ta có 1/2(1 - cosα) ⇔ cos α = – 1 ⇔ α = 180° + k360°, k ∈ ℤ.
Mà 0° ≤ α ≤ 360° nên α = 180°.
4. Phương trình tanx = m
HĐ4 trang 36 Toán 11 Tập 1: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình tan x = 1
a) Quan sát Hình 1.24, hãy cho biết đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x tại mấy điểm trên khoảng 
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm tang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Lời giải:
a) Quan sát Hình 1.24, ta thấy trên khoảng 
, đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tan x tại 1 điểm, điểm này có hoành độ 
.
b) Từ câu a, ta suy ra phương trình tan x = 1 có nghiệm là 
trên khoảng 
Do hàm số tang có chu kì là π, nên công thức nghiệm của phương trình tan x = 1 là 
Luyện tập 4 trang 36 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:
a) 
b) tan 3x + tan 5x = 0.
Lời giải:
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
b) tan 3x + tan 5x = 0
⇔ tan 3x = – tan 5x
⇔ tan 3x = tan (– 5x)
⇔ 3x = – 5x + kπ, k ∈ ℤ
⇔ 8x = kπ, k ∈ ℤ
Mà tan x có nghĩa khi 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
với k ≠ 4 + 8n, n ∈ ℤ.
5. Phương trình cotx = m
HĐ5 trang 37 Toán 11 Tập 1: Nhận biết công thức nghiệm của phương trình cot x = – 1
a) Quan sát Hình 1.25, hãy cho biết đường thẳng y = – 1 cắt đồ thị hàm số y = cot x tại mấy điểm trên khoảng (0; π)?
b) Dựa vào tính tuần hoàn của hàm côtang, hãy viết công thức nghiệm của phương trình đã cho.
Lời giải:
a) Quan sát Hình 1.25, ta thấy trên khoảng (0; π), đường thẳng y = – 1 cắt đồ thị hàm số y = cot x tại 1 điểm, điểm này có hoành độ 
b) Từ câu a, ta suy ra phương trình cot x = – 1 có nghiệm là 
trên khoảng (0; π).
Do hàm số côtang có chu kì là π, nên công thức nghiệm của phương trình cot x = – 1 là 
Luyện tập 5 trang 37 Toán 11 Tập 1: Giải các phương trình sau:
a) cot x = 1;
Lời giải:
a) cot x = 1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 
6. Sử dụng máy tính cầm tay tìm một góc khi biết giá trị lượng giác của nó
Luyện tập 6 trang 38 Toán 11 Tập 1: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm số đo độ và rađian của góc α, biết:
a) cos α = – 0,75;
b) tan α = 2,46;
c) cot α = – 6,18.
Lời giải:
a) cos α = – 0,75
+ Để tìm số đo độ của góc α, ta bấm phím như sau:
Màn hình hiện kết quả là: 138°35'25,36''.
Vậy α ≈ 138°35'26".
+ Để tìm số đo rađian của góc α, ta bấm phím như sau:
Màn hình hiện kết quả là: 2,418858406.
Vậy α ≈ 2,41886 rad.
b) tan α = 2,46
+ Để tìm số đo độ của góc α, ta bấm phím như sau:
Màn hình hiện kết quả là: 67°52'41,01".
Vậy α ≈ 67°52'41".
+ Để tìm số đo rađian của góc α, ta bấm phím như sau:
Màn hình hiện kết quả là: 1,184695602.
Vậy α ≈ 1,1847 rad.
c) cot α = – 6,18
+ Để tìm số đo độ của góc α, ta bấm phím như sau:
Màn hình hiện kết quả là: – 9°11'29,38".
Vậy α ≈ – 9°11'30".
+ Để tìm số đo rađian của góc α, ta bấm phím như sau:
Màn hình hiện kết quả là: – 0,1604218219.
Vậy α ≈ – 0,16042 rad.
