(Trang 50)
| THUẬT NGỮ • Góc giữa hai đường thẳng • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng • Góc giữa hai mặt phẳng | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Tính góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng. • Vận dụng kiến thức về góc vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn. |
| Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ (H.5.33). Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là 7 m, 6 m, 5 m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 4 m. Hỏi mái nhà nghiêng với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ? |
Hình 5.33 |
1. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
| HĐ1. Tìm mối quan hệ của góc giữa hai đường thẳng và góc giữa hai vecto chỉ phương Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ và Δ' tương ứng có các vectơ chỉ phương a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc (Δ, Δ') và b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa cos(Δ, Δ') và |
a) |
b) |
| Hình 5.33 | ||
(H.5.34).
| Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng Δ và Δ' tương ứng có vectơ chỉ phương
|
(Trang 51)
| Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:
Giải Hai đường thẳng Δ và Δ' tương ứng có các vectơ chỉ phương
Vậy | Trong bài học này, nếu không nói gì thêm, ta quy ước tính góc theo đơn vị độ và làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.
|
và 
.
. Khi đó:
Luyện tập 1. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và đường thẳng
.
2. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
| HĐ2. Tìm mối quan hệ của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng với góc giữa vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến tương ứng Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ và mặt phẳng (P). Xét a) Hãy tìm mối quan hệ giữa các góc (Δ, (P)) và (Δ, Δ'). b) Có nhận xét gì về mối quan hệ giữa sin (Δ, Δ') và |
Hình 5.35 |
là một vectơ chỉ phương của Δ và 
(với giá Δ') là một vectơ pháp tuyến của (P). (H.5.35)
| Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương
|
.Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, tính góc tạo bởi trục Ox và mặt phẳng (P) : 
Giải
Trục Ox có vectơ chỉ phương 
, mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến 
Ta có: 
Vậy Ox tạo với (P) góc 45°.
Luyện tập 2. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng Δ và mặt phẳng (P), với:
(Trang 52)
3. CÔNG THỨC TÍNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
| HĐ3. Tìm mối quan hệ của góc giữa hai mặt phẳng và góc giữa hai vectơ pháp tuyến Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) và góc giữa hai đường thẳng Δ và Δ’ có mối quan hệ gì? b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). |
Hình 5.36 |
. Lấy các đường thẳng Δ, Δ,' tương ứng có vectơ chỉ phương 
. (H.5.36)
| Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là
|
.Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng (P) : x + 2y + 2z − 1 = 0 và (Q): x + y − z + 1 = 0.
Giải
Các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là
Ta có:
Do đó
Luyện tập 3. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai mặt phẳng 
và (Oxz): y = 0.
Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, cho A(0; 0; 4), B(0; –3; 0), C(0; 3; 0), D(3; 0; 0). Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ACD).
| Giải (H.5.37) Mặt phẳng (ABD) có cặp vectơ chỉ phương là Suy ra (ABD) có vectơ pháp tuyến Do đó Mặt phẳng (ACD) có cặp vectơ chỉ phương là |
Hình 5.37 |
và 
.
cũng là vectơ pháp tuyến của (ABD).
và 
Suy ra (ACD) có vectơ pháp tuyến là 
. Do đó 
cũng là vectơ pháp tuyến của (ACD).
(Trang 53)
Gọi 
là góc giữa hai mặt phẳng (ABD) và (ACD). Khi đó:
Vậy = 77,3°.
Vận dụng. Hãy trả lời câu hỏi đã được nêu ra trong tình huống mở đầu.
BÀI TẬP
5.20. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng:
và 
5.21. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa trục Oz và mặt phẳng (P) : x + 2y –z – 1 = 0.
5.22. Tính góc giữa đường thẳng 
và mặt phẳng (P) : x + y + z + 3 = 0.
| 5.23. Kim tự tháp Kheops ở Ai Cập có dạng hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông với cạnh dài 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài 219 m (theo britannica.com) (H.5.38). Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC). 5.24. (H.5.39) Trong một bể hình lập phương cạnh 1 m có chứa một ít nước. Người ta đặt đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang. Biết rằng, lúc đó mặt nước có dạng hình bình hành ABCD và khoảng cách từ các điểm A, B, C đến đáy bể tương ứng là 40 cm, 44 cm, 48 cm. |
Hình 5.38. Kim tự tháp Kheops |
a) Khoảng cách từ điểm D đến đáy bể bằng bao nhiêu centimét? (Tính gần đúng, lấy giá trị nguyên.)
b) Đáy bể nghiêng so với mặt phẳng nằm ngang một góc bao nhiêu độ?
Hình 5.39
