Toán 12 - Tâp 2 - Bài 12: Tích phân | Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

THUẬT NGỮ

• Tích phân

• Cận tích phân

• Hàm số dưới dấu tích phân

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG

• Nhận biết định nghĩa và các tính chất của tích phân.

• Tính tích phân trong những trường hợp đơn giản.

• Vận dụng tích phân để giải một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

a)

b)

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y=x+1, trục hoành và hai đường thẳng x=1, x=t (1≤t≤4) (H.4.3).

a) Tính diện tích S của T khi t=4.

b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1, 4].

c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) =t+1, t ∈ [1; 4] và diện tích S = S(4) – S(1).

Hình 4.3

y=x+1

a) Với mỗi x ∈ [1; 2], gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).

Cho h > 0 sao cho x + h < 2. So sánh hiệu S(x + h) − S(x) với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra

b) Cho h< 0 sao cho x + h >1. Tương tự phần a, đánh giá hiệu S(x) − S(x + h) và từ đó suy ra

c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi h≠0, ta có

Từ đó chứng minh

Người ta chứng minh được S'(1)= 1, S('2)=4, tức là S(x) là một nguyên hàm của trên [1, 2].

d) Từ kết quả của phần c, ta có . Sử dụng điều này với lưu ý S(1)=0 và diện tích cần tính S=S(2), hãy tính S.

Hình 4.5

Hình 4.6

Định lí 1

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S=F(b) – F(a), trong đó F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a, b].

Ví dụ 2. Tính diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng x =1, x = 2.

Giải (H.4.8)

Một nguyên hàm của hàm số là

Do đó, diện tích của hình thang cong cần tính là

Hình 4.7

y = f(x)

Hình 4.8

b) Định nghĩa tích phân

HĐ3. Nhận biết khái niệm tích phân

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tuỳ ý của f(x) trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng F(b) – F(a)=G(b) – G(a).

Từ đó, ta có định nghĩa sau:

Hình 4.8

Chú ý G(x) = F(x) + C, C là hằng số.

Chú ý

a) Hiệu F(b) – F(a) thường được kí hiệu là

Như vậy .

Tích phân không phụ thuộc vào cách kí hiệu biến:

Từ Định lí 1 và định nghĩa tích phân, ta có

Ý nghĩa hình học của tích phân:

Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b], thì tích phân là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x = b (H.4.9). Vậy

Ví dụ 4. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: 

a)

b)

Giải:

a) Tích phân cần tính là diện tích của hình thang vuông OABC, có đáy nhỏ OC = 1, đáy lớn AB = 2 và đường cao OA = 1 (H.4.10). Do đó:

Hình 4.9

y=f(x)

Hình 4.10

y=x+1

b) Ta có là phương trình nửa phía trên trục hoành của đường tròn tâm tại gốc toạ độ O và bán kính 1. Do đó, tích phân cần tính là diện tích nửa phía trên trục hoành của hình tròn tương ứng (H.4.11).

Vậy

Luyện tập 2. Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a)

b)

Vận dụng 1. Giải quyết bài toán ở tình huống mở đầu.

Hình 4.11

Lưu ý v(t)=s'(t).

1) (k là hằng số);

2)

3)

4)