(Trang 41)
|
THUẬT NGỮ • Vectơ chỉ phương của đường thẳng • Phương trình tham số của đường thẳng • Phương trình chính tắc của đường thẳng • Hai đường thẳng vuông góc với nhau • Hai đường thẳng song song với nhau • Hai đường thẳng trùng nhau • Hai đường thẳng chéo nhau • Hai đường thẳng cắt nhau | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Nhận biết các phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng. • Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương. • Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm • Nhận biết vị trí tương đối của hai đường thẳng. • Vận dụng kiến thức về phương trình đường thẳng, vị trí tương đối giữa hai đường thẳng vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn. |
Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát đặt ở điểm M(2; 3; −4) và vật cần quan sát đặt tại điểm N(−1; 0; 8). Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm O(0; 0; 0), bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phẳng Oxy. Hỏi tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N hay không?
1. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
a) Vectơ chỉ phương của đường thẳng
HĐ1. Hình thành khái niệm vectơ chỉ phương của đường thẳng
Trong không gian, cho điểm M và vectơ 
khác vectơ-không. Khẳng định nào trong hai khẳng định sau là đúng?
a) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và vuông góc với giá của .
b) Có duy nhất đường thẳng đi qua M và song song hoặc trùng với giá của .
Vectơ  được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng Δ nếu giá của song song hoặc trùng với Δ. |
Hình 5.23 |
Chú ý
• Đường thẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm mà nó đi qua và một vectơ chỉ phương.
• Nếu là một vectơ chỉ phương của Δ thì 
(với k là một số khác 0) cũng là một vectơ chỉ phương của Δ .
| Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Hãy chỉ ra các vectơ chỉ phương của đường thẳng BC mà điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó đều là các đỉnh của hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Giải (H.5.24) Đường thẳng BC' nhận các vectơ |
Hình 5.24 |
là các vectơ chỉ phương.
(Trang 42)
| Luyện tập 1. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' (H.5.25). Trong các vectơ có điểm đầu và điểm cuối đều là đỉnh của hình lăng trụ, những vectơ nào là vectơ chỉ phương của đường thẳng AB? b) Phương trình tham số của đường thẳngHĐ2. Hình thành khái niệm phương trình tham số của đường thẳng Trong không gian Oxyz, một vật thể chuyển động với vectơ vận tốc không đổi a) Hỏi vật thể chuyển động trên đường thẳng nào (chỉ ra điểm mà nó đi qua và vectơ chỉ phương của đường thẳng đó)? |
Hình 5.25
Hình 5.26 |
và xuất phát từ điểm 
(H.5.26).
và t.
| Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua điểm
được gọi là phương trình tham số của đường thẳng Δ (t là tham số, t ∈ R). |
Chú ý
• Với các số a, b, c không đồng thời bằng 0, hệ phương trình
(t ∈ R) xác định một đường thẳng đi qua 
và có vectơ chỉ phương 
.
• Từ phương trình tham số của đường thẳng, mỗi giá trị của tham số tương ứng với một điểm thuộc đường thẳng đó và ngược lại.
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ: 
a) Hãy chỉ ra một điểm thuộc Δ và một vectơ chỉ phương của Δ.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ' đi qua A(2; 1; 0) và có vectơ chỉ phương 
.
Giải
a) Do Δ có phương trình 
nên điểm M(-1; 1; 0) thuộc Δ và 
là một vectơ chỉ phương của Δ.
b) Đường thẳng Δ' có phương trình tham số là
(Trang 43)
Luyện tập 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ : 
.
a) Hãy chỉ ra hai điểm thuộc Δ và một vectơ chỉ phương của Δ.
b) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua gốc toạ độ O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương 
.
c) Phương trình chính tắc của đường thẳng
HĐ3. Hình thành khái niệm phương trình chính tắc của đường thẳng
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua điểm 
và có vectơ chỉ phương (a, b, c là các số khác 0).
a) Điểm M(x; y, z) thuộc Δ khi và chỉ khi hai vectơ 
và có mối quan hệ gì?
b) Điểm M(x; y; z) thuộc Δ khi và chỉ khi các phân số 
, có mối quan hệ gì?
| Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ đi qua điểm Hệ phương trình |
được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng Δ.Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:
Hãy chỉ ra một điểm thuộc Δ và một vectơ chỉ phương của Δ.
Giải
Đường thẳng Δ có phương trình 
nên điểm A(1; 0; –2) thuộc Δ và 
là một vectơ chỉ phương của Δ.
Luyện tập 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:
. Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của Δ và hai điểm thuộc Δ.
Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm M(1; –2; 4) và có vectơ chỉ phương 
Giải
Đường thẳng Δ có phương trình tham số là:
có phương trình chính tắc là: 
.
(Trang 44)
Luyện tập 4. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng Δ đi qua điểm A(2; −1; 0) và có vectơ chỉ phương 
Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(−1; 4; 5) và vuông góc với mặt phẳng (α): 3x + 2y = 0.
Giải
Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến 
. Giá của và Δ cùng vuông góc với (α) nên chúng trùng nhau hoặc song song với nhau. Do đó Δ nhận làm một vectơ chỉ phương.
Vậy Δ có phương trình tham số là: 
.
Nhận xét. Đường thẳng Δ trong Ví dụ 5 không có phương trình chính tắc.
Luyện tập 5. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm M(2; −1; 3) và vuông góc với mặt phẳng Oyz.
d) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
HĐ4. Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt 
, 
.
a) Hãy chỉ ra một vectơ chỉ phương của đường thẳng 
.
b) Viết phương trình đường thẳng
| Trong không gian Oxyz, cho hai điểm phân biệt • Đường thẳng
•Trong trường hợp
|
có vectơ chỉ phương 
thì đường thẳng 
Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2; –1) và B(2; 4; 0).
Giải
Đường thẳng AB đi qua A(1; 2; −1) và có vectơ chỉ phương 
. Do đó AB có phương trình chính tắc là 
và có phương trình tham số là 
Luyện tập 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 1; 3) và B(2; 4; 6).
(Trang 45)
| Vận dụng 1. (H.5.27) Trong tình huống mở đầu hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra. a) Viết phương trình tham số của đường thẳng MN. b) Tính toạ độ giao điểm D của đường thẳng MN với mặt phẳng Oxy. c) Hỏi điểm D có nằm giữa hai điểm M và N hay không? |
Hình 5.27 |
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC
| HĐ5. Tìm điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với nhau Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng a) Hai đường thẳng b) Tìm điều kiện đối với |
Hình 5.28 |
và 
vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai giá của 
có mối quan hệ gì?
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng  tương ứng có vectơ chỉ phương  Khi đó:  |
Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau:
.
Giải
Các đường thẳng tương ứng có vectơ chỉ phương 
.
Do đó 
nên 
Luyện tập 7. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng 
. Hỏi đường thẳng 
có vuông góc với trục Oz hay không?
Vận dụng 2. Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó tương ứng thuộc hai đường thẳng:
.
Hỏi hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?
(Trang 46)
3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
| HĐ6. Xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng a) Tìm điều kiện đối với b) Giả sử c) Giả sử |
Hình 5.29 |
và 
và 
song song hoặc trùng nhau.
và 
thì 
thì 
| Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng • • • • |
cùng phương với 
Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau vuông góc với nhau và chéo nhau.
và 
.
Giải
Đường thẳng 
đi qua điểm 
và có vectơ chỉ phương 
Đường thẳng 
đi qua điểm 
và có vectơ chỉ phương 
Vì 
nên 
vuông góc với 
. Do đó vuông góc với .
Ta có 
và
Do 
nên và chéo nhau.
Luyện tập 8. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau song song với nhau:
và 
.
(Trang 47)
Ví dụ 9. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai đường thẳng sau cắt nhau:
và 
.
Giải
Đường thẳng đi qua 
và có vectơ chỉ phương 
Đường thẳng đi qua 
và có vectơ chỉ phương 
Ta có 
và 
Do 
và 
nên hai đường thẳng và cắt nhau.
Luyện tập 9. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: 
và 
. Chứng minh rằng:
a) Hai đường thẳng và song song với nhau;
b) Đường thẳng và trục Ox chéo nhau;
c) Đường thẳng trùng với đường thẳng 
d) Đường thẳng cắt trục Oz.
Chú ý. Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta cũng có thể dựa vào các vectơ chỉ phương và phương trình của hai đường thẳng đó theo tiêu chuẩn sau đây.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng , tương ứng có vectơ chỉ phương 
và có phương trình tham số:
.
Xét hệ phương trình hai ẩn t, s: 
Khi đó:
• 
cùng phương với 
và hệ (*) vô nghiệm.
• 
Hệ (*) có vô số nghiệm.
• cắt 
Hệ (*) có nghiệm duy nhất.
• và 
chéo nhau ⇔ 
và không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.
(Trang 48)
Luyện tập 10. Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng
và 
.
Vận dụng 3. (H.5.30) Trong không gian Oxyz, có hai vật thể lần lượt xuất phát từ A(1; 2; 0) và B(3; 5; 0) với vận tốc không đổi tương ứng là  . Hỏi trong quá trình chuyển động, hai vật thể trên có va chạm vào nhau hay không? |
Hình 5.30 |
BÀI TẬP
5.11. Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng 
đi qua A(1; 1; 2) và song song với đường thẳng d: 
.
5.12. Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua A(2; −1; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P) : x + 3y − z− 1 = 0.
5.13. Trong không gian Oxyz, viết các phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 3; −1) và B(1; −2; 4).
5.14. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
và 
.
a) Chứng minh rằng và 
cắt nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và .
5.15. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng:
và 
.
a) Chứng minh rằng và song song với nhau.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa và .
5.16. Trong không gian Oxyz, xác định vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
và 
.
(Trang 49)
| 5.17. Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình:
a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không? b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không? |
Hình 5.31. Hình ảnh một nút giao thông khác mức |
và 
.
5.18. Trong không gian Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ điểm A(1; 3; 4) và trong 3 giây, đầu đạn đi với vận tốc không đổi; vectơ vận tốc (trên giây) là 
. Hỏi viên đạn trên có bắn trúng mục tiêu trong mỗi tình huống sau hay không?
a) Mục tiêu đặt tại điểm 
b) Mục tiêu đặt tại điểm N(–3; 1; –8).
| 5.19. Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột thẳng cao 6 m vuông góc với mặt đất, có chân cột đặt tại vị trí O trên mặt đất. Tại một thời điểm, dưới ánh nắng mặt trời, bóng của đỉnh cột dưới mặt đất cách chân cột 3 m về hướng S60°E (hướng tạo với hướng nam góc 60° và tạo với hướng đông góc 30°) (H.5.32). Chọn hệ trục Oxyz có gốc toạ độ là O, tia Ox chỉ hướng nam, tia Oy chỉ hướng đông, tia Oz chứa cây cột, đơn vị đo là mét. Hãy viết phương trình đường thẳng chứa tia nắng mặt trời đi qua đỉnh cột tại thời điểm đang xét. |
Hình 5.32 |
