Toán 12 - Tâp 2 - Bài 14: Phương trình mặt phẳng | Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống

(Trang 29)

Nối tiếp ý tưởng phương pháp toạ độ trong mặt phẳng ở lớp 10, trong chương này, thông qua hệ trục toạ độ, ta sẽ thể hiện mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu theo ngôn ngữ của đại số.

THUẬT NGỮ • Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng • Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng • Phương trình tổng quát của mặt phẳng • Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

KIẾN THỨC, KĨ NĂNG  • Nhận biết phương trình mặt phẳng. • Viết phương trình mặt phẳng trong các trường hợp: qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến, qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương, qua ba điểm không thẳng hàng. • Nhận biết hai mặt phẳng song song, hai mặt phẳng vuông góc. • Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. • Vận dụng kiến thức về phương trình mặt phẳng, công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng vào một số bài toán liên quan đến thực tiễn.

Một vật thể chuyển động trong không gian Oxyz. Tại mỗi thời điểm t, vật thể ở vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost). Hỏi vật thể có chuyển động trong một mặt phẳng cố định hay không?

1. VECTƠ PHÁP TUYẾN VÀ CẶP VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA MẶT PHẲNG

HĐ1. Hình thành khái niệm vectơ pháp tuyến

Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến , giá của vectơ vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì có phương gì? (H.5.1)

Hình 5.1

(Trang 30)

Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) nếu giá của vuông góc với (α).

Chú ý • Mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó. • Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) thì (với k là một số khác 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của (α). Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' (H.5.3). Trong các khẳng định sau, những khẳng định nào là đúng? a) và đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD). b)  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACC’A). c)  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).

Hình 5.2 Hình 5.3

Giải

Vì các đường thẳng AA', BB' vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên , đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD).

Đường thẳng BD vuông góc với hai đường thẳng AC và AA′ nên vuông góc với mặt phẳng (ACC'A'). Vậy là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ACC'A').

Đường thẳng A′C′ không vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên vectơ không phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

Vậy các khẳng định a và b là đúng, khẳng định c là sai.

Luyện tập 1. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; −2; 3), B(−3; 0; 1). Gọi (α) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

HĐ2. Tìm một vectơ vuông góc với hai vectơ cho trước

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ và .

a) Vectơ có vuông góc với cả hai vectơ và  hay không?

b) khi và chỉ khi và có mối quan hệ gì?

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ và . Khi đó vecto vuông góc với cả hai vecto và , được gọi là tích có hướng của và , kí hiệu là [,].

Hình 5.4

Chú ý

• khi và chỉ khi , cùng phương.

• Với bốn số x, y, x', y', ta kí hiệu Khi đó tích có hướng của và là

(Trang 31)

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho và ). Tính

Giải

Ta có

Luyện tập 2. Trong không gian Oxyz, cho  và . Tính

HĐ3. Hình thành khái niệm cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).

a) Vectơ có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của hay không?

b) Mặt phẳng (P) có nhận làm một vectơ pháp tuyến hay không?

• Trong không gian Oxyz, hai vecto được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P) nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P). • Nếu là cặp vectơ chỉ phương của (P) thì là một vectơ pháp tuyến của (P).

Hình 5.5

Ví dụ 3. Trong không gian Oxyz, cho các vectơ . Gọi (α) là một mặt phẳng song song với các giá của . Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của (α).

Giải

Ta có

Do đó là cặp vectơ chỉ phương và là một vectơ pháp tuyến của (α).

Luyện tập 3. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng A(1; −2;1), B(−2; 1; 0), C(–2; 3; 2). Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

Vận dụng 1. Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét, nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí P một lực để vặn con ốc ở vị trí O (H.5.6) thì moment lực được tính bởi công thức . a) Cho . Tính . b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động trong khi thay vị trí đặt lực từ P sang P' sao cho thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Hình 5.6

(Trang 32)

2. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

HĐ4. Hình thành khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi là một vectơ pháp tuyến của (α) và ) là một điểm thuộc (α).

a) Một điểm M(x; y, z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ và có mối quan hệ gì?

b) Điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi toạ độ của nó thoả mãn hệ thức nào?

Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng đó.

Chú ý. Trong không gian Oxyz, mỗi phương trình Ax + By +Cz + D = 0 (các hệ số A, B, C không đồng thời bằng 0) xác định một mặt phẳng nhận làm một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 4. Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

Giải

Trong các phương trình trên, chỉ có phương trình y+1=0 có dạng Ax + By + Cz + D = 0 và thoả mãn A, B, C không đồng thời bằng 0 (A = 0, B = 1, C =0). Vì vậy, trong các phương trình trên, chỉ có phương trình y+1=0 là phương trình mặt phẳng.

Luyện tập 4. Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

Ví dụ 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) : x +2y−z+1=0.

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

b) Vecto có là vectơ pháp tuyến của (α) hay không?

c) Trong hai điểm A(1; 3; 2), B(1; 1; 4), điểm nào thuộc mặt phẳng (α)?

Giải

a) Mặt phẳng (α) nhận làm một vectơ pháp tuyến.

b) Do mà là vectơ pháp tuyến của (α) nên cũng là vectơ pháp tuyến của (α).

c) Ta cần kiểm tra xem trong hai điểm A(1; 3; 2), B(1; 1; 4), điểm nào có toạ độ thoả mãn phương trình mặt phẳng (α). Vậy điểm B thuộc mặt phẳng (α), điểm A không thuộc mặt phẳng (α).

(Trang 33)

Luyện tập 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): x+2=0.

a) Điểm A(-2; 1,0) có thuộc (α) hay không?

b) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của (α).

3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA MẶT PHẲNG

HĐ5. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến .

Dựa vào HĐ4, hãy nêu phương trình của (α).

Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng (α) đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến thì có phương trình là: với

Ví dụ 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2;−1;0) và có vectơ pháp tuyến

Giải

Mặt phẳng (α) có phương trình là:

Luyện tập 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; – 4) và vuông góc với trục Oz.

HĐ6. Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) đi qua điểm và biết cặp vectơ chỉ phương , .

a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

b) Viết phương trình mặt phẳng (α).

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương có thể thực hiện theo các bước sau: • Tìm vectơ pháp tuyến • Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến .

Ví dụ 7. Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' với A(1; 2; 3), B(4; 3; 5), C(2; 3; 2), A(1; 1; 1). Viết phương trình mặt phẳng (A'B'C).

(Trang 34)

Giải (H.5.7) Mặt phẳng (A'B'C) nhận làm cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến là Mặt phẳng (A'B'C') đi qua A(1; 1; 1) và nhận  làm một vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

Hình 5.7

Luyện tập 7. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; –2; −1), B(4; 1; 2), C(2; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; –2; −1) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC.

HĐ7. Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng:

A(1; 2; 3), B(–1; 3; 4), C(2; –1; 2).

a) Hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau: • Tìm cặp vectơ chỉ phương • Tìm vectơ pháp tuyến • Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến

Ví dụ 8. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 1; −1), B(3; 2; 1), C(3; 1, 4) .

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

Giải

a) Hai vecto ) không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến

Mặt phẳng (ABC) đi qua A(2; 1; −1) và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

(Trang 35)

Luyện tập 8. (H.5.8) Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) không đi qua gốc toạ độ và cắt ba trục Ox, Oy, Oz tương ứng tại các điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) (a, b, c ≠ 0).

Hình 5.8

A(a; 0; 0)

B(0; b; 0)

C(0; 0; c)

Chứng minh rằng mặt phẳng (α) có phương trình:

(Phương trình trên được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).

Vận dụng 2. Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định toạ độ của vị trí của vật tương ứng với các thời điểm

b) Chứng minh rằng không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng

c) Vị trí M(cost – sint; cost +sint; cost) có luôn thuộc mặt phẳng hay không?

4. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI NHAU

HĐ8. Tìm điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): (β): với hai vectơ pháp tuyến  tương ứng. a) Góc giữa hai mặt phẳng (α), (β) và góc giữa hai giá của  có mối quan hệ gì? b) Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến tương ứng có mối quan hệ gì?

Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng bất kì tương ứng vuông góc với hai mặt phẳng đó.

(Trang 36)

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): (β): với hai vectơ pháp tuyến tương ứng. Khi đó: (α) ⊥ (β) ⇔ ⊥ ⇔ AA' + BB' + CC' = 0.

Hình 5.9

Chú ý. Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng kia.

Ví dụ 9. Trong không gian Oxyz, chứng minh rằng hai mặt phẳng sau vuông góc với nhau: (α): x – 3y + 2z + 1 = 0, (β): 5x + y – z + 2 = 0.

Giải

Hai mặt phẳng (α), (β) có vectơ pháp tuyến tương ứng là

Ta có nên ⊥ . Do đó (α) vuông góc với (β).

Luyện tập 9. Trong không gian Oxyz, hai mặt phẳng sau đây có vuông góc với nhau hay không?

Ví dụ 10. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A(1; 2; −2), B(2; 4; 1) và vuông góc với mặt phẳng (Q) : x+3y+z−1=0.

Giải

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến . Mặt phẳng (P) đi qua A, B và vuông góc với (Q) nên có cặp vectơ chỉ phương là và . Do đó (P) có vectơ pháp tuyến là:

Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 2; –2) và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

Vận dụng 3. (H.5.10) Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng có dạng hình tứ giác với bốn đỉnh O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(2; 3; 0); . Bốn bức tường của căn phòng đều vuông góc với sàn. a) Viết phương trình bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó. b) Trong bốn mặt phẳng tương ứng chứa bốn bức tường đó, hãy chỉ ra những cặp mặt phẳng vuông góc với nhau.

Hình 5.10

(Trang 37)

5. ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI NHAU

HĐ9. Tìm điều kiện để hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng với các vectơ pháp tuyến tương ứng. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song hoặc trùng nhau thì các vectơ pháp tuyến có mối quan hệ gì?

Hình 5.11

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng với các vectơ pháp tuyến tương ứng. Khi đó: với k nào đó.

Chú ý

• Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia.

• Hai mặt phẳng (α) và (β) trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại số k khác 0 sao cho

Ví dụ 11. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

và

Hỏi  (α) và (β)  có song song với nhau hay không?

Giải

Các mặt phẳng trên có vectơ pháp tuyến tương ứng là . Do và nên hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau.

Luyện tập 10. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng:

và

a) Hỏi (α) và (β)  có song song với nhau hay không?

b) Chứng minh rằng điểm M(1; –3; 5) không thuộc mặt phẳng (α) nhưng thuộc mặt phẳng (β).

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1; –3; 5) và song song với (α).

Vận dụng 4. Trong một kì thi tuyển sinh có ba môn thi Toán, Văn, Tiếng Anh. Trong không gian Oxyz, người ta biểu diễn kết quả thi của mỗi thí sinh bởi điểm có hoành độ, tung độ, cao độ tương ứng là điểm Toán, Văn, Tiếng Anh của thí sinh đó.

(Trang 38)

a) Chứng minh rằng các điểm biểu diễn tương ứng với các thí sinh có tổng số điểm ba môn thi bằng 27 (nếu có) cùng thuộc mặt phẳng có phương trình

b) Chứng minh rằng tồn tại một số mặt phẳng đôi một song song với nhau sao cho hai điểm biểu diễn ứng với hai thí sinh có tổng số điểm thi bằng nhau thì cùng thuộc một mặt phẳng trong số các mặt phẳng đó.

Hình 5.12

6. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

HĐ10. Thiết lập công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian Oxyz, cho điểm và mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Gọi N là hình chiếu vuông góc của M trên (P) (H.5.13). a) Giải thích vì sao tồn tại số k để . Tính toạ độ của N theo k, toạ độ của M và các hệ số A, B, C, D.

Hình 5.13

b) Thay toạ độ của N vào phương trình mặt phẳng (P) để từ đó tính k theo toạ độ của M và các hệ số A, B, C, D.

c) Từ , hãy tính độ dài của đoạn thẳng MN theo toạ độ của M và các hệ số A, B, C, D. Từ đó suy ra công thức tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là:

Ví dụ 12. Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ điểm M(1; 2; −1) đến mặt phẳng

Giải

Khoảng cách từ điểm M(1; 2; −1) đến mặt phẳng là

(Trang 39)

Luyện tập 11. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng

và

a) Chứng minh rằng (P) và (Q) song song với nhau.

b) Lấy một điểm thuộc (P), tính khoảng cách từ điểm đó đến (Q). Từ đó tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Vận dụng 5. (H.5.14) Góc quan sát ngang của một camera là 115°. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm C(1; 2; 4) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): x + 2y + 2z + 3 = 0. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng (P) của camera là hình tròn có bán kính bằng bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất.)

Hình 5.14

BÀI TẬP

5.1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M(1; 2; −1) và vuông góc với trục Ox.

5.2. Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với A(1;−1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2).

a) Tính toạ độ các điểm C, B', D'.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D).

5.3. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; −1; 5) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 3x + 2y − z = 0, (R) :x + y − z = 0.

5.4. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 3; −1), song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q): x + 2y – 3z + 1 = 0.

5.5. Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến mặt phẳng (P): 2x + 2y − z + 1 = 0.

5.6. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y + z + 2 = 0, (Q): x + y + z + 6 = 0. Chứng minh rằng hai mặt phẳng đã cho song song với nhau và tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

5.7. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 3y − z = 0, (Q): x − y − 2z + 1 = 0.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau.

b) Tìm điểm M thuộc trục Ox và cách đều hai mặt phẳng (P) và (Q).

5.8. Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Hình 5.15

5.9. Trong không gian Oxyz, một ngôi nhà có sàn nhà thuộc mặt phẳng Oxy, trần nhà tầng 1 thuộc mặt phẳng z − 1 = 0, mái nhà tầng 2 thuộc mặt phẳng x + y + 50z – 100 = 0. Hỏi trong ba mặt phẳng tương ứng chứa sàn nhà, trần tầng 1, mái tầng 2, hai mặt phẳng nào song song với nhau?

(Trang 40)

5.10. Xét một cối xay lúa trong không gian Oxyz, với đơn vị đo là mét. Nếu tác động vào tai cối xay lúa (ở vị trí P) một lực thì moment lực được tính bởi công thức (H.5.16). Trong quá trình xay, các thanh gỗ AB và PQ luôn có phương nằm ngang. Vectơ lực có giá song song với AB. Giải thích vì sao giá của vecto moment lực có phương thẳng đứng?

Hình 5.16

Em có biết? Hình học giải tích hay còn gọi là hình học toạ độ là lĩnh vực toán học dùng ngôn ngữ và phương pháp đại số để nghiên cứu hình học. Trong hình học giải tích, mỗi đối tượng hình học được cho tương ứng với một đối tượng đại số: điểm cho tương ứng với toạ độ của điểm, đường cho tương ứng với phương trình của đường, mặt cho tương ứng với phương trình của mặt. Ngoài phương trình mặt phẳng đã được trình bày ở bài học trên và phương trình mặt cầu sẽ được học trong Bài 17, sau đây là phương trình của một số mặt xuất hiện nhiều trong cuộc sống: Mặt ellipsoid hay còn gọi là mặt trái xoan (H.5.17) có phương trình: Hình 5.17 Mặt hyperboloid một tầng (H.5.18) có phương trình: Hình 5.18 Mặt hyperboloid hai tầng (H.5.19) có phương trình: Hình 5.19 Mặt nón elliptic (H.5.20) có phương trình: Hình 5.20 Mặt paraboloid elliptic (H.5.21) có phương trình: Hình 5.21 Mặt paraboloid hyperbolic hay còn gọi là mặt yên ngựa (H.5.22) có phương trình: Hình 5.22 (a, b, c > 0 và không bằng nhau.)

 

Sách giáo khoa liên quan