(Trang 36)
| THUẬT NGỮ • Góc, khoảng cách • Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Nhận biết hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vuông góc. • Thiết lập công thức tính góc giữa hai đường thẳng. •Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. •Vận dụng các công thức tính góc và khoảng cách để giải một số bài toán có liên quan đến thực tiễn. |
Trong mặt phẳng toạ độ, mỗi đường thẳng đều có đối tượng đại số tương ứng, gọi là phương trình của nó. Vậy các yếu tố liên quan tới đường thẳng được thể hiện như thế nào qua phương trình tương ứng?
1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
HĐ1. Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng
a) Điểm M(1; 2) có thuộc cả hai đường thẳng nói trên hay không?
b) Giải hệ 
c) Chỉ ra mối quan hệ giữa toạ độ giao điểm của 
và 
với nghiệm của hệ phương trình trên.
Nhận xét. Mỗi đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ là tập hợp những điểm có toạ độ thoả mãn phương trình của đường thẳng đó. Vì vậy, bài toán tìm giao điểm của hai đường thẳng được quy về bài toán giải hệ gồm hai phương trình tương ứng.
Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng
và 
Khi đó, toạ độ giao điểm của và là nghiệm của hệ phương trình:
 | (*) |
|
|
⇔ hệ (*) có nghiệm duy nhất (Trang 37)
Chú ý
|
a) |
b) |
Hình 7.5
Dựa vào các vectơ chỉ phương 
, 
hoặc các vectơ pháp tuyến 
, 
của , ta có:
• và song song hoặc trùng nhau ⇔ và cùng phương ⇔ và cùng phương.
• và cắt nhau ⇔ và không cùng phương ⇔ và không cùng phương.
Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng 
: 
và mỗi đường thẳng sau:
: 
: 
Giải
Vì ⇔ 
⇔ 
Vậy và là một, tức là chúng trùng nhau.
Hai đường thẳng và có hai vectơ pháp tuyến 
và 
cùng phương. Do đó, chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng nhưng không thuộc đường thẳng , nên hai đường thẳng này không trùng nhau.
Vậy và song song với nhau.
Nhận xét. Giả sử hai đường thẳng , có hai vectơ chỉ phương 
, 
(hay hai vectơ pháp tuyến 
, ) cùng phương. Khi đó
• Nếu và có điểm chung thì trùng .
• Nếu tồn tại điểm thuộc nhưng không thuộc thì song song với .
Luyện tập 1. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) : 
và : 
b) : 
và : 
2. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
| HĐ2. Hai đường thẳng và cắt nhau tạo thành bốn góc (H.7.6). Các số đo của bốn góc đó có mối quan hệ gì với nhau? |
Hình 7.6 |
(Trang 38)
| Hai đường thẳng cắt nhau tạo thành bốn góc, số đo của góc không tù được gọi là số đo góc (hay đơn giản là góc) giữa hai đường thẳng. Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng 0°. |
HĐ3. Cho hai đường thẳng cắt nhau , tương ứng có các vectơ pháp tuyến , . Gọi 
là góc giữa hai đường thẳng đó (H.7.7). Nêu mối quan hệ giữa:
| a) góc b) cos |  |  |
Hình 7.7
| Cho hai đường thẳng
với các vectơ pháp tuyến
|
và 
tương ứng. Khi đó, góc 
Chú ý
• ⊥ ⇔ ⊥ ⇔ 
• Nếu , có các vectơ chỉ phương 
, 
thì góc 
giữa và cũng được xác định thông qua công thức cos =
.
Ví dụ 2. Tính góc giữa hai đường thẳng
: 
;
: 
Giải
Vectơ pháp tuyến của là 
, của là 
.
Gọi 
là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có
Do đó, góc giữa và là = 30°.
(Trang 39)
Luyện tập 2. Tính góc giữa hai đường thẳng
: 
và : 
Ví dụ 3. Tính góc giữa hai đường thẳng : 
và : 
.
Giải
Đường thẳng có phương trình 
nên có vectơ pháp tuyến 
(1;0). Đường thẳng có vectơ chỉ phương 
(-1; 1) nên có vectơ pháp tuyến 
(1; 1). Gọi là góc giữa hai đường thẳng và . Ta có
Do đó, góc giữa và là = 45°.
Luyện tập 3. Tính góc giữa hai đường thẳng : 
và : 
Xét đường thẳng 
bất kì cắt trục hoành Ox tại một điểm A. Điểm A chia đường thẳng thành hai tia, trong đó, gọi Az là tia nằm phía trên trục hoành. Kí hiệu 
là số đo của góc 
(H.7.8). Thực hành luyện tập sau đây, ta sẽ thấy ý nghĩa hình học của hệ số góc.
Luyện tập 4. Cho đường thẳng : 
, với a ≠ 0.
a) Chứng minh rằng cắt trục hoành.
b) Lập phương trình đường thẳng 
đi qua O(0; 0) và song song (hoặc trùng) với .
c) Hãy chỉ ra mối quan hệ giữa và 
.
d) Gọi M là giao điểm của với nửa đường tròn đơn vị và 
là hoành độ của M. Tính tung độ của M theo và a. Từ đó, chứng minh rằng tan = a.
Hình 7.8
(Trang 40)
3. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG
| HĐ4. Cho điểm M a) Chứng minh rằng
b) Giả sử H có toạ độ
c) Chứng minh rằng |
Hình 7.9 |
(a, b). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên 
.
. Chứng minh rằng:
.
Cho điểm M và đường thẳng :  . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng , kí hiệu là d(M,), được tính bởi công thức |
Ví dụ 4. Tính khoảng cách từ điểm M(2; 4) đến đường thẳng : 3x + 4y − 12 = 0.
Giải
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ta có
Vậy khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng là 2.
Trải nghiệm. Đo trực tiếp khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (H 7.10) và giải thích vì sao kết quả đo đạc đó phù hợp với kết quả tính toán trong lời giải của Ví dụ 4.
Hình 7.10
Luyện tập 5. Tính khoảng cách từ điểm M(1; 2) đến đường thẳng
: 
.
(Trang 41)
| Vận dụng. Nhân dịp nghỉ hè, Nam về quê ở với ông bà nội. Nhà ông bà nội có một ao cá có dạng hình chữ nhật ABCD với chiều dài AD = 15 m, chiều rộng AB = 12 m. Phần tam giác DEF là nơi ông bà nuôi vịt, AE = 5 m, CF = 6 m (H.7.11). a) Chọn hệ trục toạ độ Oxy, có điểm O trùng với điểm B, các tia Ox, Oy tương ứng trùng với các tia BC, BA. Chọn 1 đơn vị độ dài trên mặt phẳng toạ độ tương ứng với 1 m trong thực tế. Hãy xác định toạ độ của các điểm A, B, C, D, E, F và viết phương trình đường thẳng EF. b) Nam đứng ở vị trí B câu cá và có thể quăng |
Hình 7.11 |
BÀI TẬP
7.7. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:
a) 
và 
.
b) 
và 
.
c) 
và 
.
7.8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
a) 
và 
;
b) 
và 
. (t, s là các tham số).
7.9. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(0; –2) và đường thẳng : 
.
a) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng .
b) Viết phương trình đường thẳng a đi qua điểm M(-1; 0) và song song với .
c) Viết phương trình đường thẳng b đi qua điểm N(0; 3) và vuông góc với .
7.10. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác ABC có A(1; 0), B(3; 2) và C(-2;-1).
a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC.
b) Tính diện tích tam giác ABC.
7.11. Chứng minh rằng hai đường thẳng d :
(a ≠ 0) và 
(a' ≠ 0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi aa' =−1.
7.12. Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0;0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.
(Trang 42)
| Em có biết? Cơ sở toán học cho các tính toán trong phần mềm GeoGebra.
Hình 7.12 Hình 7.12 được chụp lại từ một màn hình máy tính đang sử dụng phần mềm vẽ hình GeoGebra: • Chọn chức năng vẽ điểm, sau đó, nháy chuột vào ba điểm A, B, C trên cửa sổ màn hình, phần mềm tự động xác định toạ độ của ba điểm đó là A(2; 4), B(–4; 1), C(3; −2). • Chọn chức năng vẽ đường thẳng • Chọn chức năng tính khoảng cách, sau đó, nháy vào điểm C và đường thẳng Cơ sở toán học để phần mềm có được tính toán nói trên là các công thức đã được nêu ra trong bài học này. |
