(Trang 19)
| THUẬT NGỮ • Tam thức bậc hai • Dấu của tam thức bậc hai • Bất phương trình bậc hai | KIẾN THỨC, KĨ NĂNG • Giải thích Định lí về dấu của tam thức bậc hai từ việc quan sát đồ thị của hàm bậc hai. • Giải bất phương trình bậc hai. • Vận dụng bất phương trình bậc hai vào giải quyết bài toán thực tiễn. |
Xét bài toán rào vườn ở Bài 16, nhưng ta trả lời câu hỏi: Hai cột góc hàng rào (H.6.8) cần phải cắm cách bờ tường bao nhiêu mét để mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 
?
1. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
HĐ1. Hãy chỉ ra một đặc điểm chung của các biểu thức dưới đây:
;
;
.
Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng  , trong đó a, b, c là những số thực cho trước (với a ≠ 0), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai. |
Người ta thường viết 
. Các đa thức đã cho trong HĐ1 là những tam thức bậc hai. Ở đa thức A, ta có a = 0,5; b = 0; c=0.
Luyện tập 1. Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là tam thức bậc hai.
;
;
;
Chú ý
| Nghiệm của phương trình bậc hai = 0 cũng được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai . |
|
và 
với 
tương ứng được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai 
HĐ2. Cho hàm số bậc hai 
.
a) Xác định hệ số a. Tính 
và nhận xét về dấu của chúng so với dấu của hệ số a.
(Trang 20)
| b) Cho đồ thị hàm số c) Nhận xét về dấu của f(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó. HĐ3. Cho đồ thị hàm số a) Xét trên từng khoảng b) Nhận xét về dấu của g(x) và dấu của hệ số a trên từng khoảng đó. |
Hình 6.17
Hình 6.18 |
(H.6.17). Xét trên từng khoảng (−∞; 1), (1; 3), (3;+∞), đồ thị nằm phía trên hay nằm phía
như Hình 6.18.
đồ thị nằm phía trên trục Ox hay nằm phía dưới trục Ox?
Nhận xét
Từ HĐ2 và HĐ3 ta thấy, nếu tam thức bậc hai 
có hai nghiệm phân biệt 
, 
(<) thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi giá trị 
(ở ngoài đoạn hai nghiệm) và trái dấu với a với mọi giá trị 
(ở trong khoảng hai nghiệm).
HĐ4. Nêu nội dung thay vào ô có dấu “?” trong bảng sau cho thích hợp.
• Trường hợp a >0
 | <0 | =0 | >0 |
| Dạng đồ thị |  |  |  |
| Vị trí của đồ thị so với trục Ox | Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục Ox. | Đồ thị nằm phía trên trục Ox và tiếp xúc với trục Ox tại điểm có hoành độ  | Đồ thị nằm phía trên trục Ox khi Đồ thị nằm phía dưới trục Ox khi |
hoặc 
.
.(Trang 21)
• Trường hợp a<0
| <0 | =0 | >0 |
| Dạng đồ thị |  |  |  |
| Vị trí của đồ thị so với trục Ox | ? | ? | ? |
Mối quan hệ giữa dấu của tam thức bậc hai 
với dấu của hệ số a trong từng trường hợp của được phát biểu trong Định lí về dấu tam thức bậc hai sau đây.
| Cho tam thức bậc hai f(x) = Nếu Nếu Nếu | Khi
cùng dấu trái dấu
|
và 
và 
. Khi đó, f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi 
; f(x) trái dấu với hệ số a với mọi 
.
Chú ý. Trong Định lí về dấu tam thức bậc hai có thể thay bởi 
.
Ví dụ 1. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) 
b) 
c) 
Giải
a) 
có =-3<0 và a=1>0 nên 
với mọi 
.
b) 
có =0 và 
nên 
có nghiệm kép 
và <0 với mọi 
.
c) Dễ thấy 
có 
, a = 2>0 và có hai nghiệm phân biệt 
Do đó ta có bảng xét dấu 
:
 |  | -4 | 1 |  | |||
| + | 0 | - | 0 | + |
Suy ra >0 với mọi 
và <0 với mọi 
(Trang 22)
Luyện tập 2. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) 
b) 
c) 
2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
HĐ5. Trở lại tình huống mở đầu. Với yêu cầu mảnh đất được rào chắn có diện tích không nhỏ hơn 48 
, hãy viết bất đẳng thức thể hiện sự so sánh biểu thức tính diện tích 
với 
Từ HĐ5, ta có 
.
Đây là một bất phương trình bậc hai.
Tổng quát, ta có định nghĩa sau:
| • Bất phương trình bậc hai ẩn • Số thực • Giải bất phương trình bậc hai |
là bất phương trình có dạng 
gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc hai 
. Tập hợp gồm tất cả các nghiệm của bất phương trình bậc hai 
là tìm tập nghiệm của nó, tức là tìm các khoảng mà trong đó 
cùng dấu với hệ số a (nếu a >0) hay trái dấu với hệ số a (nếu a<0).Nhận xét. Để giải bất phương trình bậc hai 
(hoặc 
) ta cần xét dấu tam thức 
, từ đó suy ra tập nghiệm.
Ví dụ 2. Giải các bất phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
Giải
a) Tam thức 
có 
hệ số 
nên 
luôn dương (cùng dấu với a) với mọi x, tức là 
với mọi 
. Suy ra bất phương trình vô nghiệm.
b) Tam thức 
có 
, hệ số 
nên luôn âm (cùng dấu với a) với mọi 
, tức là 
với mọi .
Suy ra bất phương trình có nghiệm duy nhất 
.
(Trang 23)
c) Tam thức 
có 
nên 
có hai nghiệm 
và 
.
Mặt khác a = −1 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau:
 |  |  |  |  | |||
| - | 0 | + | 0 | - |
Tập nghiệm của bất phương trình là 
.
Ví dụ 3. Giải bất phương trình (1), từ đó suy ra lời giải cho bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu.
Giải
Tam thức bậc hai 
có hai nghiệm 
; 
và hệ số a = 2 > 0. Từ đó suy ra tập nghiệm của bất phương trình (1) là đoạn [4; 6]. Như vậy khoảng cách từ điểm cắm cột đến bờ tường phải lớn hơn hoặc bằng 4 m và nhỏ hơn hoặc bằng 6 m thì mảnh đất rào chắn của bác Việt sẽ có diện tích không nhỏ hơn 48 
Luyện tập 3. Giải các bất phương trình bậc hai sau:
a) 
b) 
c) 
Vận dụng. Độ cao so với mặt đất của một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng được mô tả bởi hàm số bậc hai 
, ở đó độ cao 
tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Trong khoảng thời điểm nào trong quá trình bay của nó, quả bóng sẽ ở độ cao trên 5 m so với mặt đất?
| Tìm hiểu thêm Ta có thể dùng máy tính cầm tay để giải bất phương trình bậc hai. Sau khi mở máy, ta bấm liên tiếp các phím sau đây:
Sau đó chọn một trong bốn dạng bất phương trình bậc hai rồi nhập các hệ số a, b, c, từ đó nhận được nghiệm. Ví dụ để giải bất phương trình:
Màn hình máy tính hiển thị: Tập nghiệm của bất phương trình là
|
ta bấm tổ hợp phím
(Trang 24)
BÀI TẬP
6.15. Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
6.16. Giải các bất phương trình bậc hai:
a) 
b) 
c) 
d) 
6.17. Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai sau dương với mọi 
6.18. Một vật được ném theo phương thẳng đứng xuống dưới từ độ cao 320 m với vận tốc ban đầu 
. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu giây, vật đó cách mặt đất không quá 100 m? Giả thiết rằng sức cản của không khí là không đáng kể.
6.19. Xét đường tròn đường kính AB = 4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM =  (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu  là diện tích phần hình phẳng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của để diện tích không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ. |
Hình 6.19 |
