1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
HĐ1 trang 54 Toán 11 Tập 2:
a) Cho điểm M và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của M trên a. Với mỗi điểm K thuộc a, giải thích vì sao MK ≥ MH (H.7.74).
b) Cho điểm M và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M lên (P). Với mỗi điểm K thuộc (P), giải thích vì sao MK ≥ MH (H7.75).
Lời giải:
a) Vì H là hình chiếu của M trên a nên MH ⊥ a hay MH là đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng a. Khi đó MH là đường ngắn nhất nên MK ≥ MH.
b) Vì H là hình chiếu của M lên (P) nên MH ⊥ (P), suy ra MH ⊥ KH.
Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ta có MK ≥ MH.
Luyện tập 1 trang 55 Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = a, AA' = h (H.7.77).
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').
b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng cách từ A đến BC'.
Lời giải:
a) Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ đứng nên BB' ⊥ (ABC) nên (BCC'B') ⊥ (ABC).
Hạ AH ⊥ BC tại H.
Có 
Khi đó AH chính là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a.
Xét tam giác ABC vuông cân tại A, có
Vậy khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B') bằng 
b) Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AB ⊥ AC.
Vì AA' ⊥ (ABC) nên AA' ⊥ AB mà AB ⊥ AC nên AB ⊥ (ACC'A'), suy ra AB ⊥ AC'.
Do đó tam giác ABC' là tam giác vuông tại A.
Hạ AK ⊥ BC' tại K. Khi đó d(A, BC') = AK.
Vì ACC'A' là hình chữ nhật nên 
Xét tam giác ABC' vuông tại A, AK là đường cao, ta có:
2. Khoảng cách giữa các đường thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song
HĐ2 trang 55 Toán 11 Tập 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm M; N bất kỳ thuộc a và gọi A; B tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (P) (H.7.78).
Giải thích vì sao ABNM là một hình chữ nhật và M, N có cùng khoảng cách đến (P).
Lời giải:
Vì A, B lần lượt là các hình chiếu của M, N trên (P) nên AM ⊥ (P), BN ⊥ (P).
Do đó AM // BN hay A, B, M, N cùng thuộc một mặt phẳng.
Vì MN // (P) và (ABNM) ∩ (P) = AB nên MN // AB.
Vì AM // BN và MN // AB nên ABNM là hình bình hành.
Mặt khác AM ⊥ (P) nên AM ⊥ AB. Do đó ABNM là hình chữ nhật.
Vì ABNM là hình chữ nhật nên AM = BN nên M, N có cùng khoảng cách đến (P).
HĐ3 trang 56 Toán 11 Tập 2:
a) Cho hai đường thẳng m và n song song với nhau. Khi một điểm M thay đổi trên m thì khoảng cách từ nó đến đường thẳng n có thay đổi hay không?
b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) và một điểm M thay đổi trên (P) (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ M đến (Q) thay đổi thế nào khi M thay đổi.
Lời giải:
a) Khi M thay đổi trên m thì khoảng cách từ nó đến đường thẳng n không thay đổi vì m // n.
b) Vì (P) // (Q) nên các đường thẳng trên mặt phẳng (P) đều song song với mặt phẳng (Q).
Khi đó M thay đổi trên (P) thì khoảng cách từ M đến (Q) không thay đổi (dựa vào kết quả của hoạt động 2).
Câu hỏi trang 56 Toán 11 Tập 2: Nếu đường thẳng a thuộc mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) song song với (P) thì giữa d(a, (Q)) và d((P), (Q)) có mối quan hệ gì?
Lời giải:
Lấy M bất kì thuộc a nằm trong mặt phẳng (P), suy ra M thuộc (P).
Vì a // (Q), khi đó d (a, (Q)) = d(M, (Q)).
Vì (P) // (Q) nên d((P), (Q)) = d(M, (Q)).
Do đó d(a, (Q)) = d((P), (Q)).
Luyện tập 2 trang 56 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = h. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC.
a) Tính d((MNP), (ABC)) và d(NP, (ABC)).
b) Giả sử tam giác ABC vuông tại B và AB = a. Tính d(A, (SBC)).
Lời giải:
a) Xét tam giác SAB có M là trung điểm của SA, N là trung điểm của SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB suy ra MN // AB, do đó MN // (ABC).
Xét tam giác SBC có N là trung điểm của SB, P là trung điểm của SC nên PN là đường trung bình của tam giác SBC suy ra PN // BC, do đó PN // (ABC).
Vì MN // (ABC) và PN // (ABC) mà MN ∩ PN = N nên (MNP) // (ABC).
Khi đó d((MNP), (ABC)) = d(M, (ABC)).
Vì SA ⊥ (ABC) nên MA ⊥ (ABC). Do đó d(M, (ABC)) = MA.
Vì M là trung điểm SA nên 
Do đó d((MNP), (ABC)) 
Vì PN // (ABC) nên d(NP, (ABC)) = d(N, (ABC)).
Vì MN // (ABC) nên d(N, (ABC)) = d(M, (ABC)) = MA 
Vậy d(NP, (ABC)) 
b) Vì ABC là tam giác vuông tại B nên BC ⊥ AB.
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC mà BC ⊥ AB nên BC ⊥ (SAB), suy ra (SBC) ⊥ (SAB).
Kẻ AH ⊥ SB tại H.
Vì 
Khi đó d(A, (SBC)) = AH.
Vì SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB.
Xét tam giác SAB vuông tại A, AH là đường cao, có
Vận dụng 1 trang 57 Toán 11 Tập 2: Ở một con dốc lên cầu, người ta đặt một khung khống chế chiều cao, hai cột của khung có phương thẳng đứng và có chiều dài bằng 2,28 m. Đường thẳng nối hai chân cột vuông góc với hai đường mép dốc. Thanh ngang được đặt trên đỉnh hai cột. Biết dốc nghiêng 15° so phương nằm ngang. Tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường (theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Hỏi cầu này có cho phép xe cao 2,21 m đi qua hay không?
Lời giải:
Gọi B là một điểm nằm trên thanh ngang và H là hình chiếu vuông góc xuống mặt dốc.
Vì dốc nghiêng 15° so với phương ngang nên góc giữa cột và mặt phẳng dốc bằng 75°.
Khi đó khoảng cách từ B đến mặt phẳng dốc là BH = 2,28 . sin75°≈ 2,2 (m).
Do đó không cho phép xe cao 2,21 m đi qua.
3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
HĐ4 trang 57 Toán 11 Tập 2: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng b và song song với a. Hình chiếu a' của a trên (Q) cắt b tại N. Gọi M là hình chiếu của N trên a (H.7.83).
a) Mặt phẳng chứa a và a' có vuông góc với (Q) hay không?
b) Đường thẳng MN có vuông góc với cả hai đường thẳng a và b hay không?
c) Nêu mối quan hệ của khoảng cách giữa a, (Q) và độ dài đoạn thẳng MN.
Lời giải:
a) Vì a' là hình chiếu của a trên (Q) nên a và a' thuộc cùng một mặt phẳng. Hơn nữa, mặt phẳng đó chứa phương chiếu là đường thẳng vuông góc với (Q) nên mặt phẳng chứa a và a' vuông góc với (Q).
b) Gọi mặt phẳng chứa a và a' là mặt phẳng (P).
Vì a // (Q) và (P) ∩ (Q) = a' nên a // a'.
Vì MN ⊥ a nên MN ⊥ a'.
Trong mặt phẳng (P) có MN và phương chiếu vuông góc lên (Q) cùng vuông góc với a nên chúng song song với nhau. Do đó MN ⊥ (Q) nên MN ⊥ b.
c) Vì a // (Q) nên d(a, (Q)) = d(M, (Q)) = MN (vì MN ⊥ (Q)).
Khám phá trang 58 Toán 11 Tập 2: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt (P) tại O. Cho đường thẳng b thuộc mặt phẳng (P). Hãy tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa a, b và khoảng cách từ Ođến b (H.7.88).
Lời giải:
Ta có d(O, b) = OH.
Vì a ⊥ (P) nên a ⊥ OH mà OH ⊥ b nên OH là đoạn vuông góc chung của a và b, do đó d(a, b) = OH.
Vậy d(a, b) = d(O, b).
Luyện tập 3 trang 58 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a√2.
a) Tính khoảng cách từ A đến SC.
b) Chứng minh rằng BD ⊥ (SAC).
c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa BD và SC.
Lời giải:
a) Hạ AH ⊥ SC tại H. Khi đó d(A, SC) = AH.
Xét tam giác ABC vuông tại B, có 
Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC.
Xét tam giác SAC vuông tại A, AH là đường cao, ta có:
Vậy d(A, SC) = a.
b) Do ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.
Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD mà AC ⊥ BD nên BD ⊥ (SAC).
c) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD.
Kẻ OK ⊥ SC tại K.
Vì BD ⊥ (SAC) nên BD ⊥ OK mà OK ⊥ SC nên OK là đường vuông góc chung của BD và SC.
Xét tam giác CHA có O là trung điểm của AC và OK // AH (vì cùng vuông góc với SC) nên K là trung điểm của CH. Do đó OK là đường trung bình của tam giác CHA nên OK 
Vậy 
Thảo luận trang 58 Toán 11 Tập 2: Khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia. Hãy thảo luận để làm rõ nhận xét này.
Lời giải:
- Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng a là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên a.
- Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách giữa M và hình chiếu H của M trên mặt phẳng (P).
- Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm M bất kì trên a đến mặt phẳng (P).
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song (P) và (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Mà đường vuông góc là đường ngắn nhất nên khoảng cách giữa hai hình được nêu trong bài học (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) là khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc hình này và một điểm thuộc hình kia.
